[論文レビュー] Method of Additional Structures on the Objects of a Monoidal Kleisli Category as a Background for Information Transformers Theory

P.V. Golubtsov, S. S. Moskaliuk|ArXiv.org|Nov 27, 2002

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、統計的、多値的、およびファジィな情報変換器（IT）を一様にモデル化するために、追加構造を備えたモノイダル Kleisli 圏を用いた圏論的枠組みを導入する。決定的ITに対しては、有限積を持つモノイダル圏における射としてITを公理化することで、合成、積、不確実性の統一的取り扱いが可能となり、ベイズ推論やファジィ論理システムへの応用が可能である。

ABSTRACT

Category theory provides a compact method of encoding mathematical structures in a uniform way, thereby enabling the use of general theorems on, for example, equivalence and universal constructions. In this article we develop the method of additional structures on the objects of a monoidal Kleisli category. It is proposed to consider any uniform class of information transformers (ITs) as a family of morphisms of a category that satisfy certain set of axioms. This makes it possible to study in a uniform way different types of ITs, e.g., statistical, multivalued, and fuzzy ITs. Proposed axioms define a category of ITs as a monoidal category that contains a subcategory (of deterministic ITs) with finite products. Besides, it is shown that many categories of ITs can be constructed as Kleisli categories with additional structures.

研究の動機と目的

• 統計的、多値的、およびファジィな情報変換器（IT）を含む多様な情報変換器（IT）を一様に数学的にモデル化する枠組みの構築。
• ITを、逐次的および並列的合成をサポートするモノイダル圏における射として形式化すること。
• ITの圏が、不確実性の体系的取り扱いを可能にする追加構造を備えた Kleisli 圏として構成可能であることを示すこと。
• 決定的ITが有限積を持つ部分圏を形成することを確立し、重要な圏論的性質を保存すること。
• 具体的な圏の構成を通じて、この枠組みがベイズ推論およびファジィ論理に応用可能であることを示すこと。

提案手法

• 合成、単位、結合則を満たす圏における射として情報変換器（IT）を定義する。
• ITの圏にモノイダル構造を導入し、ITの並列合成をモデル化する。
• 不確実性（例えばファジィ写像や確率的写像）を捉えるモノイドを用いて、ITの圏を Kleisli 圏として構成する。
• 射の積を圏論的積を用いて定義し、式（2）による合成との整合性を保証する。
• 最小および積tノルムを用いて、ファジィITの合成および積の操作を指定し、圏FMTおよびFPTを構成する。
• 像の点にのみ1のメンバーシップを割り当て、それ以外は0とする標準的写像を通じて、決定的ITをファジィITに埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統計的、多値的、およびファジィな情報変換器—これらを一つの圏論的枠組み内で一様にモデル化する方法は何か？
• RQ2 逐次的および並列的合成の下でのITの振る舞いを捉えるために、必要なおよび十分な圏論的構造（例えばモノイダル構造、積）は何か？
• RQ3 決定的ITの部分圏は、より一般的なITの圏に自然に埋め込まれるか？その際、圏論的性質が保存されるか？
• RQ4 tノルムの選択（最小 vs. 積）が、ファジィITの圏の構造および性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ベイズ推論および条件付き分布は、この圏論的枠組みにおいて、非確率的ITへと一般化可能か？

主な発見

• 情報変換器の圏は、有限積を持つ決定的ITの部分圏を含むモノイダル圏として形式化される。
• ファジィITは、正規化されたファジィ部分集合のモノイド上の Kleisli 圏における射としてモデル化され、合成はsup-minまたはsup-product操作で定義される。
• 最小tノルムを用いるFMT（ファジィITの圏）と積tノルムを用いるFPT（ファジィITの圏）は、積とモノイダル構造を持つ圏の公理を満たすことが示された。
• 決定的写像は、像にのみ1のメンバーシップを割り当て、それ以外は0とする標準的構成によりファジィITに埋め込まれ、合成が保存される。
• ファジィITの圏には条件付き分布が存在し、非確率的設定においてもベイズ的原則の適用が可能である。
• メンバーシップ関数の包含に基づく強および弱の情報量関係が、多値ITにおける正確性関係に類似した形で、この枠組みでサポートされる。