[論文レビュー] Method of lines transpose: High order L-stable O(N) schemes for parabolic equations using successive convolution

Matthew F. Causley, Hana Cho+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時間方向に最初に離散化し、修正されたヘルムホルツ方程式をグリーン関数と高速$Ø(N)$畳み込みを用いて解くことで、高次の、$Ø(N)$計算コストを達成する、L安定な新しいスケーラブルなスクリプトを提案する。この手法は、アレン＝キャーン方程式やフィッツフーリュ・ナグumo方程式を含む線形および非線形拡散問題の効率的かつ安定的かつ高精度な解法を可能にする。 stiff decay が保証され、空間的・時間的精度を任意に設定可能である。

ABSTRACT

We present a new solver for nonlinear parabolic problems that is L-stable and achieves high order accuracy in space and time. The solver is built by first constructing a single-dimensional heat equation solver that uses fast O(N) convolution. This fundamental solver has arbitrary order of accuracy in space, and is based on the use of the Green's function to invert a modified Helmholtz equation. Higher orders of accuracy in time are then constructed through a novel technique known as successive convolution (or resolvent expansions). These resolvent expansions facilitate our proofs of stability and convergence, and permit us to construct schemes that have provable stiff decay. The multi-dimensional solver is built by repeated application of dimensionally split independent fundamental solvers. Finally, we solve nonlinear parabolic problems by using the integrating factor method, where we apply the basic scheme to invert linear terms (that look like a heat equation), and make use of Hermite-Birkhoff interpolants to integrate the remaining nonlinear terms. Our solver is applied to several linear and nonlinear equations including heat, Allen-Cahn, and the Fitzhugh-Nagumo system of equations in one and two dimensions.

研究の動機と目的

• 放物型PDEを解くための高次元、L安定、計算的に効率的な数値スキームの開発を目的とする。空間的・時間的精度を任意に設定可能である。
• 伝統的なADI法や陰解法の限界を克服し、メモリ使用量と計算コストを削減しながらも、安定性と精度を維持することを目的とする。
• 解の線形化を用いた解法の拡張を可能とし、resolvent 展開を用いて、放物型問題に対して stiff decay と証明可能な収束性を達成する方法の拡張を目的とする。
• 高次元のヘルメート・バーグホフ補間を用いた積分因子法を統合することで、非線形反応拡散系の効率的解法を可能とすることを目的とする。
• 1次元および2次元のベンチマーク問題、特にアレン＝キャーン方程式およびフィッツフーリュ・ナグumo方程式を用いて、本手法の頑健性と効率性を示すこと。

提案手法

• 本手法は、時間方向に最初に離散化する「方法の線形転置（MOL T）」を用い、時間離散化により得られる修正されたヘルムホルツ方程式をグリーン関数と高速$Ø(N)$畳み込みを用いて解く。
• 高次元の空間的精度は、境界積分の四則近似に基づく離散化により達成され、滑らかな問題では空間的スペクトル精度を達成する。
• 逐次畳み込み（resolvent 展開）を用いて高次元時間積分器を構築し、時間的精度を任意の次数に設定可能とする。
• 安定性および収束性は、resolvent 展開フレームワークを用いて証明され、すべての精度次数に対して stiff decay が保証される。
• 多次元問題に対しては、次元別に分離したスライス型ソルバーを逐次適用し、$Ø(N)$の複雑さを維持する。
• 非線形項は、積分因子法により処理され、線形拡散項は陰的に解き、非線形項は高次元ヘルメート・バーグホフ補間子を用いて統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MOL T と逐次畳み込みを用いて、線形熱方程式に対して高次元、L安定、$Ø(N)$スキームを構築可能か？
• RQ2 逐次畳み込み技術は、時間的精度を任意に設定した場合に、stiff decay と収束性を保証するか？
• RQ3 本手法は、アレン＝キャーン方程式やフィッツフーリュ・ナグumo方程式のような非線形放物型系に、高次元精度と安定性を維持したまま拡張可能か？
• RQ4 1次元および2次元の線形および非線形問題において、収束速度および精度の観点から、本手法はどのように性能を示すか？
• RQ5 本手法は、stiff 問題に特徴的な厳しい時間刻み制約下でも、効率性と安定性を維持できるか？

主な発見

• 提案されたスキームは、1ステップあたり$\mathcal{O}(N)$の計算コストを達成し、大規模問題に対して非常に効率的である。
• 1次元熱方程式において、2次、4次、6次スキームでは、それぞれ時間方向に$\mathcal{O}(\Delta t^p)$の収束性を示し、$p=2,4,6$となる。
• 2次元においても、熱方程式の時間方向に2次収束性、空間方向にスペクトル収束性が、メッシュの細分化に伴い維持される。
• アレン＝キャーン方程式において、時間方向に2次収束性を示し、$L^\infty$誤差が$\Delta t$を半分にした際に$5.17 \times 10^{-6}$から$1.296 \times 10^{-8}$に減少する。
• フィッツフーリュ・ナグumo系は、$\Delta t = 0.0008$の2次スキームを用いて、渦巻き波の形成を成功裏に再現し、既存の文献結果と一致する。
• すべてのテストされた精度次数において、stiff decay が観察され、L安定性および stiff 放物型問題に対する頑健性が確認された。