[論文レビュー] Method of Moments Estimation of Ornstein-Uhlenbeck Processes Driven by General Lévy Process

Konstantinos V. Spiliopoulos|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2008

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、一般のリーヴィ過程で駆動されるオーナイシュタイン・ウーレンバック過程における、平均回帰パラメータλおよびリーヴィ駆動源の一次モーメントと二次モーメントのモーメント法推定量を提案する。離散時間観測を用いて、エルゴディシティの議論を用いて推定量の強一貫性と漸近正規性を確立し、シミュレーションと実際のVIXデータへの応用を通じてその有効性を示している。モデルは良好にフィットし、自己相関の指数的減衰を捉えている。

ABSTRACT

Ornstein-Uhlenbeck processes driven by general Lévy process are considered in this paper. We derive strongly consistent estimators for the moments of the underlying Lévy process and for the mean reverting parameter of the Ornstein-Uhlenbeck process. Moreover, we prove that the estimators are asymptotically normal. Finally, we test the empirical performance of our estimators in a simulation study and we fit the model to real data.

研究の動機と目的

• 離散的に観測されたリーヴィ駆動オーナイシュタイン・ウーレンバック過程における、平均回帰パラメータλおよびリーヴィ駆動源の一次モーメントと二次モーメントの、強い一貫性を持つモーメント法推定量の開発。
• これらの推定量の一致性と漸近正規性を理論的に正当化し、このクラスのモデルにおいて、初めてその証明を提供する。
• ガンマ分布および逆ガウス分布のOU過程におけるシミュレーションスタディを通じて、推定量の経験的性能を評価する。
• 実際のlog(VIX)データにモデルをフィットさせ、インプライド・ボラティリティのダイナミクスをモデル化する適切さを評価する。
• 非パラメトリック推論手法に補完的に、リーヴィ駆動OU過程のためのパラメトリックでモーメントに基づくアプローチを提供する。

提案手法

• リーヴィ過程L₁のモーメントを用いて、OU過程の定常分布の一次モーメントと二次モーメントの明示的表現を導出する。
• 離散時間観測からの経験的モーメントを用いて、λ、μ = 𝔼[L₁]、およびσ² = Var(L₁)のモーメント法推定量を構築する。
• 定常OU過程のエルゴディシティを用いて、標本サイズの増加に伴う推定量の一貫性を確立する。
• 正規性条件の下で、関数中心極限定理の議論を適用して推定量の漸近正規性を証明する。
• ガンマ分布および逆ガウス分布のリーヴィ駆動源を想定したシミュレーションスタディを通じて、有限標本における推定量の性能を評価する。
• 2004年の日次log(VIX)データに推定量を適用し、モデルフィッティング、残差診断、予測ブートストラップ信頼区間を用いて適合度を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的に観測されたリーヴィ駆動オーナイシュタイン・ウーレンバック過程における、平均回帰パラメータλおよびリーヴィ駆動源の一次モーメントと二次モーメントのモーメント法推定量は、一貫的かつ漸近的に正規的であるか。
• RQ2 ガンマ分布および逆ガウス分布のサブオーダイナーや他の一般的なリーヴィ過程において、これらの推定量は有限標本でも良好に機能するか。
• RQ3 リーヴィ駆動OUモデルは、log(VIX)インプライド・ボラティリティのダイナミクスを統計的に適切に表現できるか。
• RQ4 log(VIX)の経験的自己相関構造は、OUモデルが示す理論的指数的減衰と一致するか。
• RQ5 提案手法は、金融応用におけるリーヴィ駆動OU過程の非パラメトリック推論手法に対する信頼できる代替手段を提供できるか。

主な発見

• λ、μ、σ²のモーメント法推定量は、正規性条件のもとで強一貫性と漸近正規性を示し、本稿で初めて理論的根拠が提供された。
• シミュレーション結果から、ガンマ分布および逆ガウス分布のOU過程の両方において、有限標本でも良好な性能を示しており、標本サイズの増加に伴い推定量が真の値に収束することが確認された。
• VIXデータの推定λは0.1767であり、理論的自己相関関数e^(-0.1767h)はlog(VIX)の経験的ACFとよく一致しており、モデルの妥当性を支持する。
• 平方残差に対するLjung-Box検定のp値は0.6165であり、自己相関なしの帰無仮説は棄却されず、ガンマOUモデルの適合度が良好であることを示している。
• 50本のブートストラップパスに基づく1ステップ先予測区間は、実際のVIX時系列を95％の確率で含んでおり、予測の信頼性を確認した。
• 残差診断において、ガンマOUモデルは逆ガウスOUモデルを上回り、より優れた適合度と残差の独立性を示した。