[論文レビュー] Methodology of Numerical Computations with Infinities and Infinitesimals

Yaroslav D. Sergeyev|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2012

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、無限大と無限小を一貫した算術枠組み内で数値的量として扱う新しい記数法に基づく計算的手法を導入し、無限大および無限小の数値的計算を可能にする。『部分は全体より小さい』という原則を無限大および無限小の数にも普遍的に適用することで、無限集合や発散級数におけるパラドックスを解消し、すべての非不可能な事象に対して有限または無限小の確率を付与できる。これにより、物理的に根拠のある、測定器に依存する分析および確率論のアプローチが提供される。

ABSTRACT

A recently developed computational methodology for executing numerical calculations with infinities and infinitesimals is described in this paper. The developed approach has a pronounced applied character and is based on the principle `The part is less than the whole' introduced by Ancient Greeks. This principle is used with respect to all numbers (finite, infinite, and infinitesimal) and to all sets and processes (finite and infinite). The point of view on infinities and infinitesimals (and in general, on Mathematics) presented in this paper uses strongly physical ideas emphasizing interrelations holding between a mathematical object under the observation and tools used for this observation. It is shown how a new numeral system allowing one to express different infinite and infinitesimal quantities in a unique framework can be used for theoretical and computational purposes. Numerous examples dealing with infinite sets, divergent series, limits, and probability theory are given.

研究の動機と目的

• 一貫した算術枠組みを用いて、無限大および無限小の数値的演算を可能にする計算的手法の開発。
• 『部分は全体より小さい』という原則を、有限、無限大、無限小の数や集合に普遍的に適用することで、古典的パラドックス（例えば、ヒルベルトの巨大ホテル、偶数の集合）を解消すること。
• 観測対象と測定器の関係をモデル化することで、数学的対象に物理的根拠を与える。これは物理的観測に類似している。
• 新しい記数法により、異なる無限大および無限小の量を明示的に表現することで、解析学、確率論、集合論における正確な数値的計算を可能にすること。
• grossoneに基づく新しい算術を用いて、不定形（例：∞−∞、∞/∞）を明確な結果に置き換えること。

提案手法

• 無限大単位を表す記号 ①（grossone）を用いる新しい記数法に基づく。これにより、無限大および無限小の量を直接的に数値的に操作可能となる。
• 『部分は全体より小さい』という原則を、有限、無限大、無限小の数および集合に普遍的に適用し、あらゆるスケールで一貫性を保証する。
• 無限大および無限小の数に対して加法、減法、乗法、除法が定義された新しい算術を構築し、不定形を回避する。
• 測定精度をモデル化するために、異なる記数法（例：①、①²）を選択する。選択された記数法が分解能を決定し、観測可能な点や出来事の数を決定する。
• 確率論において、標本空間のサイズ N(Ω) は選択された記数法によって定義される（例：N(Ω) = ①）。確率は P(E) = N(E)/N(Ω) として計算され、モデルの分解能に応じて有限または無限小の値を取り得る。
• 連続的な対象上の点（有限 m）と弧（無限大 m）を区別することで、観測のための測定器に応じた、離散的および連続的モデルの統一的取り扱いが可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大および無限小の数値的計算を、∞−∞ や ∞/∞ などの不定形を避けて、明確かつ一貫した形で定義することは可能か？
• RQ2 『部分は全体より小さい』という原則を、有限、無限大、無限小の数および集合に普遍的に適用することで、無限に関する古典的パラドックスを解消できるか？
• RQ3 測定器の分解能に応じて、すべての非不可能な事象に正の有限または無限小の確率を割り当てるように、確率論を再構築することは可能か？
• RQ4 grossoneに基づく新しい記数法が、解析学、集合論、発散級数における正確な数値的計算をどの程度可能にするか？
• RQ5 記数法の選択（例：① と ①²）が、連続的および離散的文脈における数学的モデルの分解能と正確さにどのように影響するか？

主な発見

• この手法により、grossone（①）に基づく一貫した算術を用いて、無限大および無限小の数値的計算が直接的に行えるようになり、∞−∞ などの未定義演算を回避できる。
• 確率的モデルにおけるすべての非不可能な事象に正の確率が割り当てられ、選択された記数法に応じて有限または無限小の値を取り得る。これにより、非空集合に確率0を割り当てる古典的問題が解消される。
• 円周上の観測可能な点の数は、選択された記数法に依存する。例えば、形 i·2πr/① の記数法を用いる場合、① 個の観測可能な点がある。このとき、有限 m の事象の確率は m/① > 0 となり、無限小の確率が得られる。
• モデルは、点（有限 m）と弧（無限大 m）を区別することで、測定器の分解能に応じた、離散的および連続的モデルの統一的取り扱いが可能となる。
• ヒルベルトの巨大ホテルのパラドックスは、有限個の部屋（例：①）を割り当て、移動操作が新しい算術内での有効な操作であることを示すことによって解消される。これにより、「無限大に1を加える」ような直感に反する結論を避けることができる。
• この手法は、数学的結果が測定器に依存することを前提とする物理的に根拠のある枠組みを提供する。これは物理的観測に類似しており、無限大および無限小のより現実的な解釈を支持する。