[論文レビュー] Methods for finding leader--follower equilibria with multiple followers

Nicola Basilico, Stefano Coniglio+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Game Theory and Applications参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、複数のフォロワーがナッシュ均衡をプレーする場合のリーダー・フォロワー均衡（LFE–N）を正確かつ近似的に計算する手法を提案する。この問題は計算的に困難であることが示され、FNP-hardであり、P=NPでない限りPoly-APXに属さない。非凸の数学的計画法とグローバル最適化手法を導入し、1人あたり15手までのゲームでは正確な解を達成し、40手を超えるゲームでは高品質な近似解を得た。

ABSTRACT

The concept of leader--follower (or Stackelberg) equilibrium plays a central role in a number of real--world applications of game theory. While the case with a single follower has been thoroughly investigated, results with multiple followers are only sporadic and the problem of designing and evaluating computationally tractable equilibrium-finding algorithms is still largely open. In this work, we focus on the fundamental case where multiple followers play a Nash equilibrium once the leader has committed to a strategy---as we illustrate, the corresponding equilibrium finding problem can be easily shown to be $\mathcal{FNP}$--hard and not in Poly--$\mathcal{APX}$ unless $\mathcal{P} = \mathcal{NP}$ and therefore it is one among the hardest problems to solve and approximate. We propose nonconvex mathematical programming formulations and global optimization methods to find both exact and approximate equilibria, as well as a heuristic black box algorithm. All the methods and formulations that we introduce are thoroughly evaluated computationally.

研究の動機と目的

• 複数のフォロワーがナッシュ均衡をプレーする状況におけるリーダー・フォロワー均衡を計算するための計算的に実行可能なアルゴリズムの欠如に対処すること。
• LFE–N問題の計算の困難性を確立し、P=NPでない限りFNP-hardであり、Poly-APXに属さないことを示し、特に多項式マトリクスゲームにおいても同様であることを示すこと。
• 楽観的および悲観的LFE–Nケースの両方に対し、新規の非凸数学的計画法とグローバル最適化手法を設計すること。
• 最先端のソルバを用いて、正規形ゲームおよび多項式マトリクスゲームにおいて、提案手法を包括的に評価すること。
• 40手を超える手を有するプレイヤーおよび64,000以上の結果を有するゲームを含む大規模インスタンスにおいて、手法のスケーラビリティを示すこと。

提案手法

• 楽観的LFE–Nケースに対して、リーダーのコミットメントとフォロワーの最良応答ナッシュ均衡を非凸非線形計画法でモデル化した二段階最適化定式化を提案する。
• 中程度のサイズのゲームに対して正確な解を得るために、空間分枝限定法に基づくグローバル最適化ソルバ（BARON, SCIP, CPLEX）を用いる。
• 悲観的LFE–Nケースに対しては、標準的な単一段階還元が適用できないため、グローバル最適化とブラックボックス最適化技術を組み合わせる。
• セキュリティおよびマルチエージェント応用で一般的な多項式マトリクスゲームに特化した定式化を適応する。
• 大規模インスタンスの高品質な近似解を得るために、局所最適化ソルバ（RBFOpt, SNOPT）を用いる。
• 正規形および多項式マトリクスゲームにおいて、行動数の異なるインスタンスを評価するため、標準化されたGAMUT生成テストベッドを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のフォロワーがナッシュ均衡をプレーする場合のLFE–Nの計算は、計算的に実行可能であり、その複雑度クラスは何か？
• RQ2 標準的な還元が失敗する状況においても、楽観的および悲観的LFE–Nの正確および近似解法を開発できるか？
• RQ3 さまざまなゲームサイズおよび構造において、グローバル最適化と局所最適化手法は、LFE–N問題の解法においてどのように比較されるか？
• RQ4 本手法は、1人あたり40手を超えるゲームにどの程度スケーリング可能か？
• RQ5 支配に基づくプルーニング技術はLFE–Nに適用可能か、それとも問題自体がこのような最適化に対して本質的に耐性を示すか？

主な発見

• LFE–N問題は、P=NPでない限りFNP-hardであり、Poly-APXに属さないことが示され、多項式マトリクスゲームにおいても同様である。これは、解くことおよび近似することの最も困難な問題の一つであることを示している。
• グローバル最適化ソルバ（BARON, SCIP, CPLEX）は、3名のプレイヤーと1人あたり最大15手の正規形ゲームにおいて、正確なLFE–N解を効果的に計算できた。
• 正規形ゲームでは、1人あたり40手を超えるインスタンスにおいて、乗法的ギャップが35％未満の近似解が得られた。
• 多項式マトリクスゲームでは、1人あたり45手を超えるインスタンスにおいて、乗法的ギャップが30％未満の近似解が得られた。
• 評価された最大のインスタンスでは、64,000以上の異なる結果を有しており、従来のナッシュ均衡探索アルゴリズムをはるかに超えるスケーラビリティを示した。
• 支配に基づくプルーニング技術は適用不可能であり、リーダーの行動を除外可能かどうかを決定することはNP-hardであることが示された。