[論文レビュー] Methods for Solving Extremal Problems in Practice

Michael Codish|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、7入力ブール関数の乗法的複雑度の下界を1つ上げ、M(7) ≥ 7 を証明している。回路のトポロジーと対称性の削減に基づく洗練された数え上げ論法を用いて、すべての2^128通りの7変数ブール関数を計算するには6つのANDゲートでは不十分であることを示し、GF(2)上での乗算を少なくとも7回必要とする関数が存在することを示している。

ABSTRACT

During the 20 th century there has been an incredible progress in solving theoretically hard problems in practice. One of the most prominent examples is the DPLL algorithm and its derivatives to solve the Boolean satisfiability problem, which can handle instances with millions of variables and clauses in reasonable time, notwithstanding the theoretical difficulty of solving the problem. Despite this progress, there are classes of problems that contain especially hard instances, which have remained open for decades despite their relative small size. One such class is the class of extremal problems, which typically involve finding a combinatorial object under some constraints (e.g, the search for Ramsey numbers). In recent years, a number of specialized methods have emerged to tackle extremal problems. Most of these methods are applied to a specific problem, despite the fact there is a great deal in common between different problems. Following a meticulous examination of these methods, we would like to extend them to handle general extremal problems. Further more, we would like to offer ways to exploit the general structure of extremal problems in order to develop constraints and symmetry breaking techniques which will, hopefully, improve existing tools. The latter point is of immense importance in the context of extremal problems, which often hamper existing tools when there is a great deal of symmetry in the search space, or when not enough is known of the problem structure. For example, if a graph is a solution to a problem instance, in many cases any isomorphic graph will also be a solution. In such cases, existing methods can usually be applied only if the model excludes symmetries.

研究の動機と目的

• n変数ブール関数の最大乗法的複雑度M(n)の tighter な下界を確立すること。
• M(7) > 6 であるかどうかという未解決の問題を解消すること。これは、過去の境界値にもかかわらず、長きにわたり未解決のままであった。
• 回路のトポロジーを用いた固定されたANDゲート数のもとでの計算可能な関数の数え上げの体系的かつ包括的な手法を開発すること。
• 対称性の破壊とトポロジーの刈り込みを用いて、同値な回路の探索空間を削減し、効率的な列挙を可能にすること。
• 7入力ブール関数のうち、7つのANDゲートを必要とするものが存在することを非構成的証明により示すこと。今後の研究では、このような関数の構成を目指す。

提案手法

• ANDゲート間の接続関係のみを捉えるトポロジーに回路を抽象化し、XORゲートの詳細は無視する。
• 冗長性と回路構造の同値性を低減するため、well-layered および minimal トポロジーの概念を導入する。
• k個のANDゲートをもつ非同値な最小well-layeredトポロジーを列挙するために、generate-and-pruneアルゴリズムを適用する。
• 定理4を用いて、計算可能なブール関数の数を 3^k × 2^{2kn + n + k + 1} × |Tk/≡| で上界付ける。ここで |Tk/≡| は同値でないトポロジーの数を表す。
• 鳩の巣原理を適用する：7変数ブール関数の数（2^128）が、6個のANDゲートで計算可能な関数の上界を上回るため、少なくとも1つの関数は7個のゲートを必要とする。
• トポロジーの正規表現を保証する対称性の破壊技術を用いて、過剰な重複を低減し、|Tk/≡| の効率的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 7入力ブール関数の乗法的複雑度は7以上であるか？
• RQ2 6個のANDゲートで計算可能なブール関数の数を十分にタイトに上界付けることができるか？ これにより、すべての7変数関数が計算可能でないことが証明できるか？
• RQ3 k個のANDゲートをもつ非同値な最小well-layeredトポロジーの数は何か？ また、この数は探索空間をどのように削減するか？
• RQ4 非構成的証明により、乗法的複雑度が7である7入力関数の存在を示せるか？
• RQ5 M(6) の値は何か？ そして、洗練された計算的手法によりその値を特定できるか？

主な発見

• 本稿では M(7) ≥ 7 を証明しており、以前の既知の下界を1つ上回っている。
• 6個のANDゲートをもつ回路について、同値でない最小well-layeredトポロジーは正確に555,709個であることが、Generateアルゴリズムにより計算された。
• 6個のANDゲートで計算可能な7変数ブール関数の数の上界は 2^128 よりも小さい。具体的には 2^128 よりも小さい。これは、すべての7入力関数を計算できないことを証明している。
• この上界は 555,709 × 3^6 × 2^98 < 2^128 として導出されており、6個のANDゲートではすべての7入力関数を計算できないことを示している。
• この結果は非構成的である：7入力関数のうち乗法的複雑度が7であるものが存在することは証明しているが、明示的にその関数を構成しているわけではない。
• 本手法により、n=7 のとき M(n) > n−1 が成り立つことが示され、この厳密な不等式が成立する最小のケースであることが判明した。