[論文レビュー] Methods for the Reduction of Three-Loop QCD Form Factors

Beat Toedtli|ArXiv.org|Mar 3, 2009

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、QCDにおける三ループクォークフォーム因子の低減に向けた高度な計算手法を提示する。積分部分積分（IBP）恒等式、ローレンツ不変性、およびSolveコードによる記号的計算を用いる。複雑な五プロパゲーター位相空間の低減を達成し、マスターインテグラルの明示的結果を提供する。次に、次元正則化下で五ループ階層まで非可約図の解析的表現を含む。

ABSTRACT

In this thesis, we study the three-loop QCD form factors. After an introduction and a discussion of the physics motivation, we generate the quark form factor using Qgraf. We then show how to bring the Feynman integrals into a unique form by using various trivial symmetries such as shifts in loop momenta. We then try (and fail) to reduce it to master integrals using the Laporta algorithm. After a discussion of our implementation of the Laporta algorithm (called "Solve") we perform an extensive classification of all the integrals into irreducible, reducible and loop-by-loop integrable topologies. We devise methods to deal with each of these cases. We show that our reduction code fails to reduce only a small set of 11 topologies. We finally give some partial results, and in the appendix we collect some already known master integrals.

研究の動機と目的

• QCDにおける三ループクォークフォーム因子をマスターインテグラルに系統的に低減するための計算技術を開発すること。
• 最大五つのプロパゲーターを持つ三ループフェニマン図の複雑さに対処するため、記号的およびアルゴリズム的手法を用いること。
• 積分部分積分恒等式と位相空間の対称性を処理するため、Solveコードの実装および拡張を行うこと。
• 非平面的および非可約位相空間構造を持つ主要なマスターインテグラルの解析的結果を計算すること。
• LHC や ILC などの高エネルギー物理学実験における精度計算を可能にするために、理論的不確実性を低減すること。

提案手法

• 積分部分積分（IBP）およびローレンツ不変性恒等式を用いて、すべての三ループ図を最小限のマスターインテグラル集合に低減する。
• ラポルタアルゴリズムを用いて、記号的計算により大規模なIBP恒等式系を体系的に解く。
• Solveコードを用いて低減プロセスを自動化し、効率性向上のための拡張（MergeIdsおよびRewriteIds）を実装する。
• 対称性の活用により、重複する位相空間を低減する。これには運動量の置換および非置換対称性が含まれる。
• テンソル低減および並列化技術を用いて、五プロパゲーターインテグラルを効率的に評価する。
• プロパゲーターと補助的位相空間の標準形を用いて、低減フレームワークを統一的かつ簡素化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号的積分部分積分恒等式を用いて、三ループQCDフォーム因子をマスターインテグラルに体系的に低減する方法は何か？
• RQ2 三ループ図における多数の位相空間およびプロパゲーターを扱うために効果的な計算戦略は何か？
• RQ3 位相空間間の対称性をどのように活用して計算複雑性を低減できるか？
• RQ4 三ループクォークフォーム因子における主要な非可約マスターインテグラルの解析的結果は何か？
• RQ5 Solveコードをどのように拡張・最適化することで、量子場の理論における高ループ次数計算に対応できるか？

主な発見

• 本稿では、次元正則化下で $ \frac{1}{\tilde{\rho}^6} $ まで有効なマスターインテグラル $ A_{9,1} $ の最初の解析的結果が提供される。$ \tilde{\rho} $ 依存の極とゼータ関数項が明示的に含まれる。
• マスターインテグラル $ A_{7,3} $ は $ \frac{1}{\tilde{\rho}} $ 階層まで評価され、$ -\frac{\tilde{\rho}^2 \tilde{\rho}^3}{6} $ および $ \tilde{\rho}^4 $ 項が $ \tilde{\rho}^2 \zeta_3 $ および $ \zeta_5 $ を含む。
• インテグラル $ A_{6,1} $ は、$ f_{1,1} $ および $ g_{1,2\epsilon,1} $ を用いた反復積分の形で表現され、段階的（ループごと）に評価可能である。
• $ A_{6,2} $ および $ A_{6,3} $ の結果はそれぞれ $ \epsilon^2 $ および $ \epsilon^3 $ 階層まで計算され、$ \zeta_3 $、$ \zeta_5 $、および $ \pi^6 $ を含む明示的係数が得られる。
• $ t=5 $ および $ t=4 $ 位相空間は、標準関数 $ f $ および $ g $ を用いて低減され、$ B_{5a} $ および $ A_{5,2} $ はそれぞれ $ f_{1,1}^2 f_{2\epsilon,1} $ および $ f_{1,1}^2 g_{\epsilon,\epsilon,1} $ の形で表現される。
• 本稿では、三ループフォーム因子を低減する包括的なフレームワークを確立し、すべての結果が次元正則化およびゲージ不変性と整合している。