[論文レビュー] Methods for verified stabilizing solutions to continuous-time algebraic Riccati equations

Tayyebe Haqiri, Federico Poloni|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Numerical Methods and Algorithms参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、連続時間代数リカチ方程式（CAREs）の安定化解を検証可能に計算する手法を提示する。改良されたクラフチックおよび固定点アプローチを用い、基底変換、区間演算、および新規の勾配行列定式化を組み合わせることで、O(n³)の計算量で厳密な区間行列包含を達成する。従来の最先端アルゴリズムに比べ、多数のベンチマークで優れた性能を発揮するとともに、非対角化可能な閉ループ行列に対しても信頼性を保つ。

ABSTRACT

We describe a procedure based on the Krawczyk method to compute a verified enclosure for the stabilizing solution of a continuous-time algebraic Riccati equation $A^*X+XA+Q=XGX$ building on the work of [B.~Hashemi, \emph{SCAN} 2012] and adding several modifications to the Krawczyk procedure. We show that after these improvements the Krawczyk method reaches results comparable with the current state-of-the-art algorithm [Miyajima, \emph{Jpn. J. Ind. Appl. Math} 2015], and surpasses it in some examples. Moreover, we introduce a new direct method for verification which has a cubic complexity in term of the dimension of $X$, employing a fixed-point formulation of the equation inspired by the ADI procedure. The resulting methods are tested on a number of standard benchmark examples.

研究の動機と目的

• 連続時間代数リカチ方程式（CAREs）の唯一の安定化解を含む厳密な区間行列包含を計算する検証可能数値手法の開発。
• 計算量の低減と区間演算におけるラッピング効果の最小化により、CAREsの検証可能計算の効率性と信頼性の向上。
• 既存手法の限界（特に非対角化可能でない、または悪条件な閉ループ行列に対しての失敗）を克服するため、行列の対角化に依存しない新規の固定点定式化の導入。
• 計算された解の包含に対して、A - GX のHurwitz安定性（開いた左半平面にすべての固有値を有すること）を検証可能に保証する。
• 標準的なCAREテスト問題の包括的セットを用いて、提案手法と最先端アルゴリズムの性能をベンチマーク比較する。

提案手法

• ハミルトニアン行列の不変部分空間構造を用いた基底変換により、クラフチック法をCAREsに適応させ、区間演算の操作数を削減し、ラッピング効果を最小化する。
• 非検証リカチソルバにインspiredされた基底変換を適用し、CAREを再定式化することで、安定化解のノルムが有界になるようにし、より緊密な区間包含を可能にする。
• 標準的な区間ヤコビアン評価に代えて、代数的に導出された表現を勾配行列に用いることで、より小さいかつ正確な区間包含を達成する。
• ADイテレーションフレームワークに基づく新規のCARE固定点定式化を導入し、閉ループ行列の対角化を必要とせず、1反復あたりO(n³)の計算量を実現する。
• 計算された区間解の安定化性を確認するための検証手順を実装し、A - GX のすべての固有値が開いた左半平面内にあることを確認する。
• 区間演算および検証可能線形代数（例：検証可能行列因子分解）を用い、固有値計算を含むすべての演算が厳密に境界付けられることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底変換と改良された勾配行列推定を組み合わせたクラフチック法は、競争力のある性能とより緊密な包含を達成する検証可能CARE解を実現できるか？
• RQ2 不変部分空間変換によるCAREの再定式化は、数値的条件が改善され、検証可能計算における区間包含が向上するか？
• RQ3 ADイテレーションに基づく固定点法は、閉ループ行列が欠損またはほぼ欠損である場合に、クラフチック法に代わる信頼できる代替手段を提供できるか？
• RQ4 提案手法は、[25]における最先端アルゴリズムと比較して、計算コスト、信頼性、包含品質の観点でどのように差をつけるか？
• RQ5 検証可能手法のスケーラビリティは行列次元nに対してどうなるか？実際の計算においてもO(n³)の計算量を維持するか？

主な発見

• 改良されたクラフチック法は、[25]の最先端アルゴリズムと同等の性能を発揮し、多数のベンチマーク例でより緊密な解包含を達成した。
• 新規の固定点法は、非対角化可能または悪条件な閉ループ行列の場合に、クラフチック法が失敗するケースでも正常に処理できることを示した。
• 4つのテスト手法（H, M, K, F）は、すべてnの行列次元に対しておおよそO(n³)のスケーリングを示した。10から1000の問題サイズでの実験で確認された。
• 実際の計算では、[25]に基づく手法Mが最も高速であったが、手法K（改良クラフチック）はより信頼性が高く、特に悪条件問題では失敗がはるかに少ない。
• 手法Fは失敗率が最も高かったが、閉ループ行列が対角化不可能な場合にのみ特に有効であり、そのニッチな有用性を示した。
• 最大のテストケース（n = 1000）では、唯一の手法Kが解とその安定化性の両方を検証に成功した。これは極端な状況下でも高い耐障害性を示している。