[論文レビュー] Methods of arbitrary optimal order with tetrahedral finite-element meshes forming polyhedral approximations of curved domains

Vitoriano Ruas|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、直線状の辺を持つ四面体メッシュを用いて、3次元の曲がった領域における2階境界値問題とディリクレ条件を解くための新しい有限要素法を提案する。境界上の真の境界点で境界条件を補間する多項式試行関数を用い、試行関数の自由度は標準的な自由度を採用することで、エネルギーノルムにおける最適収束速度と、これまでにない $L^2$-誤差推定値を達成した。等パラメトリック法に比べ、曲がった要素や有理関数の積分を必要とせず、精度と計算の単純さの両方を凌駕した。

ABSTRACT

In recent papers the author introduced a simple alternative to isoparametric finite elements of the n-simplex type, to enhance the accuracy of approximations of second-order boundary value problems with Dirichlet conditions, posed in smooth curved domains. This technique is based upon trial-functions consisting of piecewise polynomials defined on straight-edged triangular or tetrahedral meshes, interpolating the Dirichlet boundary conditions at points of the true boundary. In contrast the test-functions are defined upon the standard degrees of freedom associated with the underlying method for polytopic domains. While method's mathematical analysis for both second- and fourth-order problems in two-dimensional domains was carried out in arxiv NA-1701.00663 and in a submitted paper, this article is devoted to the study of the three-dimensional case, in which the method is nonconforming. Well-posedness, uniform stability and optimal a priori error estimates in the energy norm are demonstrated for a tetrahedron-based Lagrange family of finite elements. Novel L2-error estimates for the class of problems considered in this work are also proved. A series of numerical examples illustrates the potential of the new technique. In particular its better accuracy at equivalent cost as compared to the isoparametric technique is highlighted. Moreover the great generality of the new approach is exemplified through a method with degrees of freedom other than nodal values.

研究の動機と目的

• 3次元の曲がった領域において、高次近似を用いる場合に等パラメトリック要素に依存せずに最適収束率を維持する有限要素法を開発すること。
• 3次元幾何における補間境界条件（IBC）の制限（節点選択の制限や実装の複雑さ）を克服すること。
• 四面体ラグランジュ要素（次数 >1）に対して、適切に定義された問題、一様な安定性、最適な事前誤差推定値を備えた数学的に整合性のある枠組みを提供すること。
• 特に非線形性やメッシュ生成の複雑さに対処する際、等パラメトリック法と比較して優れた精度と効率を示すことを実証すること。
• ノード自由度にとどまらず、エッジや面に依存する自由度へも一般化可能な適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 直線状の辺を持つ四面体メッシュ上で定義された区分的多項式試行関数を用い、メッシュの頂点だけでなく、真の曲がった境界上の点でもディリクレ境界条件を補間する。
• 試行関数は、多角形領域における古典的ガレルキン形式と一貫性を保つ、基礎となる有限要素空間に関連する標準的自由度を用いて構築される。
• この定式化はペトロフ・ガレルキン法に基づくものであり、対称な問題に対しても非対称な係数行列が得られるが、最適収束性は維持される。
• 多項式被積分関数により、数値積分が正確に行えるため、等パラメトリック法で一般的に必要な四角法則や有理関数の積分を回避できる。
• 任意の高次ラグランジュ要素（次数 >1）に適用可能であり、エッジや面の平均値などノード以外の自由度へも自然に拡張可能である。
• メッシュ生成は単純かつ頑健なままであり、負のヤコビアンが等パラメトリック要素で一般的な問題を解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直線状の辺を持つ四面体メッシュに基づく有限要素法は、3次元の曲がった領域における2階境界値問題に対して、最適収束速度を達成できるか？
• RQ2 ディリクレ条件が頂点でない境界点（例えば、境界の辺や面の中央）に指定された場合、提案手法が最適な $L^2$-誤差推定値を維持できるか？
• RQ3 曲がった領域において、等パラメトリック有限要素法と比較して、精度と計算コストの両面でどのように差がつくか？
• RQ4 エッジや面の平均値などのノード以外の自由度へも拡張可能であり、最適収束性を維持できるか？
• RQ5 粗いメッシュに対しても安定で頑健であり、細かいメッシュの仮定なしに安定性と収束性を維持できるか？

主な発見

• 標準的な正則性仮定のもとで、メッシュサイズに依存しない誤差境界を有する、四面体ラグランジュ有限要素（次数 >1）において、エネルギーノルムで最適収束が達成された。
• 検討された問題クラスに対して、前例のない $L^2$-誤差推定値が証明され、高次法における曲がった領域における精度の新たな基準を確立した。
• 数値例では、同等の計算コストにおいて等パラメトリック法を上回る精度を示し、特に非線形問題において顕著であった。
• 境界の辺や面の中央にディリクレ条件を指定しても、次数の低下が生じず、最適収束性が維持された。
• 多項式代数の使用により、要素行列の正確な積分が可能となり、四角法に起因する誤差を回避し、非線形性が複雑な場合の実装を簡素化した。
• 粗いメッシュに対しても頑健であり、$h$ が領域直径の半分に達しても一貫した収束行動が観察された。これは、漸近的仮定を越えた実用的応用可能性を示している。