[論文レビュー] Methods of Differential Geometry in Classical Field Theories: k-symplectic and k-cosymplectic approaches

Manuel de León, Modesto Salgado+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 59

ひとこと要約

本稿は、k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック構造を用いて、複数の独立変数をもつ場の理論へのハミルトニアンおよびラグランジュ力学の一般化を含む、古典的場の理論の幾何学的枠組みを構築する。k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック構造を用いてハミルトン＝ド・ドンデル＝ヴァイラー方程式の定式化を確立し、変分的基盤を提供するとともに、これら構造をマルチシンプレクティック形式と関連づけ、波動方程式、ラプラス方程式、マクスウェル方程式を含む場の理論方程式を統一的に扱う微分幾何学的アプローチを提示する。

ABSTRACT

This book is devoted to review two of the most relevant approaches to the study of classical field theories of first order, say k-symplectic and k-cosymplectic. In the last part, we relate the k-symplectic and k-cosymplectic manifolds with the multisymplectic theory.

研究の動機と目的

• k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック構造の導入により、力学から場の理論へのシンプレクティック幾何学の一般化を図ること。
• k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック多様体を用いて、ハミルトン＝ド・ドンデル＝ヴァイラー方程式の幾何学的定式化を提供すること。
• ポincare-カタン形式を用いて、k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック場の理論の変分的基盤を確立すること。
• k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック形式がマルチシンプレクティック形式とどのように関係するかを明らかにし、それらの関連性を明確にすること。
• 本枠組みが波動方程式、静電場、マクスウェル方程式といった具体的な場の理論方程式に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• k-シンプレクティック多様体として、k¹-コベクトル場の余接 bundle (T¹ₖ)⁎Q 上に、k 個のシンプレクティック形式とk-接続構造を用いてk-シンプレクティック幾何学を定義する。
• k-ベクトル場と積分断面が満たすk-シンプレクティックハミルトニアン系を定義し、k-シンプレクティックハミルトニアン＝ド・ドンデル＝ヴァイラー方程式を導出する。
• 安定余接 bundle ℝᵏ×(T¹ₖ)⁎Q 上に、閉1形式ηとk個の閉2形式ωαを用いて、k-コシンプレクティック形式を構築する。
• ラグランジュ形式とハミルトニアン形式を結ぶk-コシンプレクティックリーマン変換を構築し、場の理論における双対性を明確にする。
• k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック形式を用いて、Euler-Lagrange方程式およびハミルトン＝ド・ドンデル＝ヴァイラー方程式の一般化を導出する。
• k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック多様体におけるダーブォー座標を用いて、局所的な表現を得ることで、明示的な計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-シンプレクティック構造を用いて、複数の独立変数をもつ場の理論におけるシンプレクティック幾何学をどのように一般化できるか。
• RQ2 k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック枠組みにおいて、ハミルトン＝ド・ドンデル＝ヴァイラー方程式の幾何学的定式化はどのようなものか。
• RQ3 k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック形式は、標準的なマルチシンプレクティック形式とどのように関係するか。
• RQ4 k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティックアプローチは、波動方程式や静電場方程式といった古典的場の理論を一貫して記述できるか。
• RQ5 k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティックラグランジュおよびハミルトニアン形式において、ポincare-カタン形式およびリーマン変換の役割は何か。

主な発見

• k-シンプレクティック形式は、(T¹ₖ)⁎Q 上のk-ベクトル場と積分断面を用いて、ハミルトン＝ド・ドンデル＝ヴァイラー方程式の幾何学的特徴づけを可能にする。
• k-コシンプレクティック形式は、非自励場の理論に自然な枠組みを提供し、リーマンベクトル場と閉1形式ηを備えることで、時間的進行方向における発展方程式を可能にする。
• ダーブォー座標において、k-シンプレクティック構造は局所的に ωα = dqⁱ ∧ dpᵢα の形を取り、k-コシンプレクティック構造では η = dt および ωα = dqⁱ ∧ dpᵢα となる。
• 適切な同型写像、特にジェットバンドルおよびマルチモーメンタムバンドルの構成を介して、k-シンプレクティックおよびk-コシンプレクティック形式がマルチシンプレクティック形式と同等であることが示された。
• 本枠組みは、古典的場の理論方程式を成功裏に記述でき、波動方程式、ラプラス方程式、スカラー場の質量項、真空中のマクスウェル方程式がすべて特殊な場合として導かれる。
• k-シンプレクティックラグランジュ形式とハミルトニアン形式の間のリーマン変換が明示的に構成され、k個の独立変数をもつ場の理論に古典的力学の一般化が達成された。