[論文レビュー] Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti

Leonhard Euler|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、特に等周問題に対して、固定された周囲長のもとで面積を最大化するような曲線を特徴付ける微分方程式を導出することによって、変分問題を解く基礎的な手法を提示する。オイラーは、変分導関数と第一積分を用いた、体系的な変分法のアプローチを導入し、後に数学的物理学および最適化分野で発展する基盤を築いた。

ABSTRACT

This translation has been withdrawn due to certain imperfections and mistakes, which are corrected in the version uploaded at The Euler Archive (see E65 at http://www.eulerarchive.org/)

研究の動機と目的

• 与えられた制約のもとで特定の性質を最大または最小にするような曲線を特定する一般的手法を開発すること。
• 曲線が固定面積を囲むことを条件とする、等周問題の一般形を解くこと。
• 極値曲線を導出するための微分方程式を用いた体系的なアプローチを形式化すること。
• 変分法を独立した数学的分野として築く基盤を敷くこと。

提案手法

• 変分法を適用して、極値曲線に必要な条件を導出する。
• 関数の極値を分析するために、変分導関数の使用を導入する。
• 定数係数をもつ関数的問題に対して、オイラー＝ラグランジュ方程式から第一積分を導出する。
• 変数の置換や簡略化技術を用いて、極値曲線を記述する微分方程式を簡素化する。
• 具体的な例、特に等周問題にこの手法を適用する。
• 積分の制約付き極値問題を解くための一般枠組みを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された制約のもとで、与えられた性質を最大または最小にするような曲線を体系的かつ一貫して特定するにはどうすればよいか？
• RQ2 等周問題における極値曲線を特徴付ける微分方程式は何か？
• RQ3 幾何学的および物理的問題における極値に必要な条件を導くために、変分原理をどのように応用できるか？
• RQ4 曲線に沿った積分の最適化を扱う問題を解くために、一般に用いることができる手法は何か？

主な発見

• オイラーは、境界条件が固定された変分問題に対して、基本的な微分方程式（現在ではオイラー＝ラグランジュ方程式として知られる）を導出した。
• 定数係数をもつ関数的問題では、第一積分が存在することを示し、解法の過程を簡素化した。
• 等周問題を解く過程で、解が円であることを示し、古典的な幾何的直観を裏付けた。
• 変分問題を解ける微分方程式に還元する一般的手順を確立した。
• 変分法の基盤としての「変分」の概念を導入した。
• 数学的物理学および最適化分野におけるその後の発展の理論的基盤を敷いた。