[論文レビュー] Metric and Gauge Extensors

A. M. Moya, Waldyr A. Rodrigues+1 more|ArXiv.org|Jan 31, 2005

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意のクライフォード代数 $\sigma\ell(V,G)$ を、より単純なユークリッドの枠組みを用いた、ユークリッドのクライフォード代数 $\sigma\ell(V,G_E)$ への変形として再定式化するために、計量およびゲージの拡張作用素を導入する。中心的な貢献は、異なる計量におけるクライフォード積を可逆な拡張作用素変換によって関連付ける「ゴールデン・フォーミュラ」である。

ABSTRACT

In this paper, the second in a series of eight we continue our development of the basic tools of the multivector and extensor calculus which are used in our formulation of the differential geometry of smooth manifolds of arbitrary topology . We introduce metric and gauge extensors, pseudo-orthogonal metric extensors, gauge bases, tetrad bases and prove the remarkable golden formula, which permit us to view any Clifford algebra Cl(V,G) as a deformation of the euclidean Clifford algebra Cl(V,G_{E}) discussed in the first paper of the series and to easily perform calculations in Cl(V,G) using Cl(V,G_{E}).

研究の動機と目的

• 幾何代数における任意の計量符号を扱う形式的枠組みを構築すること。
• スカラー積を異なる計量下で関連付ける線形写像としての計量拡張作用素を定義し、計量依存の代数的演算を可能にすること。
• ゲージ拡張作用素およびtetrad基底を、重力の幾何理論を構築するための道具として導入すること。
• ゴールデン・フォーミュラを用いた体系的なクライフォード代数の変形枠組みを確立し、複雑な計量計算をユークリッド計算に還元すること。
• 本シリーズの後続論文における変形幾何理論の基礎を提供すること。

提案手法

• すべての $v,w \in V$ に対して $v \cdot_G w = g(v) \cdot_{G_E} w$ を満たす一意的な線形写像 $g$ を計量拡張作用素 $g$ として定義し、計量 $G$ を基準となるユークリッド計量 $G_E$ に結びつける。
• 拡張作用素 $\underline{g}$ を用いて $g$ を全外代数 $\bigwedge V$ に持ち上げ、多重ベクトル演算の変換を可能にする。
• 計量随伴公式 $t^{\dagger(g)} = \underline{g}^{-1} \circ t^{\dagger} \circ \underline{g}$ を導出し、異なる計量下での随伴演算子の関係を明らかにする。
• 直交およびローレンツ拡張作用素を、相対論的幾何への応用を持つ計量拡張作用素の特別な場合として導入する。
• 可逆な拡張作用素を用いて、正規直交基底を一般基底に結びつけるゲージ基底およびtetrad基底を構成する。
• ゴールデン・フォーミュラを証明する：$X \underset{g}{} Y = \underline{h}^{-1}[\underline{h}(X) \underset{\eta}{} \underline{h}(Y)]$、ここで $h$ は計量 $G$ をミンコフスキー計量 $\eta$ に写像するゲージ拡張作用素である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の計量 $G$ におけるクライフォード代数の演算を、基準となるユークリッド計量 $G_E$ におけるものとどのように関連付けることができるか？
• RQ2 異なる計量下での線形写像の随伴演算子の正確な代数的関係は何か？
• RQ3 ゲージ拡張作用素を用いて、一般計量空間における正規直交基底（tetrad基底）をどのように定義できるか？
• RQ4 ユークリッドのクライフォード代数を任意の符号を持つものに変形する数学的構造は何か？
• RQ5 一般計量下での完全なクライフォード積を、ユークリッド積と拡張作用素による変換のみで計算できるか？

主な発見

• 計量拡張作用素 $g$ は、計量構造 $(V,G)$ と $(V,G_E)$ 間の一意的な同型写像を提供し、幾何的演算の移行を可能にする。
• ゴールデン・フォーミュラ $X \underset{g}{} Y = \underline{h}^{-1}[\underline{h}(X) \underset{\eta}{} \underline{h}(Y)]$ を用いることで、一般計量 $G$ におけるクライフォード代数のすべての演算を、ミンコフスキー計量 $\eta$ とゲージ拡張作用素 $h$ を用いて計算可能になる。
• 計量随伴は $t^{\dagger(g)} = \underline{g}^{-1} \circ t^{\dagger} \circ \underline{g}$ を満たし、計量の変形に伴う随伴の変換法則を示している。
• ゲージ拡張作用素は、tetrad基底の構成を可能にし、幾何的重力理論における正規直交基底と一般座標系のフレームの間の橋渡しを果たす。
• 擬直交計量拡張作用素、特にローレンツ拡張作用素は、一般計量拡張作用素形式の特別な場合として示されている。
• この形式的枠組みにより、任意のクライフォード代数 $\mathcal{C}\ell(V,G)$ が、拡張作用素 $\underline{g}$ に符号化された、ユークリッド代数 $\mathcal{C}\ell(V,G_E)$ の正確なゲージ変形であることが確立された。