[論文レビュー] Metric and Generalized Projection Operators in Banach Spaces: Properties and Applications

Ya. I. Alber|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 1993

Optimization and Variational Analysis被引用数 631

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート空間における距離射影作用素の自然な拡張として、バナッハ空間における一般化射影作用素を導入し、非ヒルバート設定下でのそれらの限界を克服する。著者らは、これらの作用素を用いて変分不等式と射影方程式の間の同値定理を確立し、バナッハ空間における変分不等式および共通点問題を解く反復的射影法の適用を可能にする。

ABSTRACT

Metric projection operators can be defined in similar wayin Hilbert and Banach spaces. At the same time, they differ signifitiantly in their properties. Metric projection operator in Hilbert space is a monotone and nonexpansive operator. It provides an absolutely best approximation for arbitrary elements from Hilbert space by the elements of convex closed sets . This leads to a variety of applications of this operator for investigating theoretical questions in analysis and for approximation methods. Metric projection operators in Banach space do not have properties mentioned above and their applications are not straightforward. Two of the most important applications of the method of metric projection operators are as follows: 1. Solve a variational inequality by the iterative-projection method, 2. Find common point of convex sets by the iterative-projection method. In Banach space these problems can not be solved in the framework of metric projection operators. Therefore, in the present paper we introduce new generalized projection operators in Banach space as a natural generalization of metric projection operators in Hilbert space. In Sections 2 and 3 we introduce notations and recall some results from the theory of variational inequalities and theory of approximation. Then in Sections 4 and 5 we describe the properties of metric projection operators $P_Ω$ in Hilbert and Banach spaces and also formulate equivalence theorems between variational inequalities and direct projection equations with these

研究の動機と目的

• バナッハ空間内での距離射影作用素の単調性および非拡大性の欠如という問題を解決し、その適用範囲を拡大すること。
• 標準的な距離射影作用素では、バナッハ空間における変分不等式および共通点問題を解くことが不可能であるという問題を克服すること。
• ヒルバート空間の射影作用素が有する重要な性質を保ちつつ、バナッハ空間へと拡張する一般化射影作用素の枠組みを構築すること。
• 変分不等式と射影方程式の間の同値定理を用いて、バナッハ空間における反復的射影法の理論的基盤を確立すること。

提案手法

• ヒルバート空間における距離射影作用素の自然な一般化として、バナッハ空間における一般化射影作用素を定義する。
• 双対写像および正規化された双対写像を用いて、反射的バナッハ空間における一般化射影作用素を構築する。
• 一般化射影作用素を用いて、変分不等式問題と直接的な射影方程式との間の同値定理を定式化する。
• 一般化射影作用素に基づく反復的射影アルゴリズムを適用し、凸集合内の共通点を求める。
• 一般化射影作用素の性質を活用して、バナッハ空間における反復スキームの収束を保証する。
• 変分不等式およびバナッハ空間における近似の理論を基盤として、新しい作用素の構築と解析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間における距離射影作用素は、どのようにバナッハ空間へと一般化され、その望ましい性質を保てるか？
• RQ2 バナッハ空間における一般化射影作用素が、反復法に必要な収束性および安定性を保つために満たすべき条件は何か？
• RQ3 一般化射影作用素を用いることで、変分不等式をどのようにバナッハ空間における射影方程式に再定式化できるか？
• RQ4 一般化射影に基づく反復的射影法は、バナッハ空間内における凸集合の共通点問題を解けるか？
• RQ5 一般化射影作用素を用いた場合、変分不等式と射影方程式の間には、どのような理論的同値関係が存在するか？

主な発見

• バナッハ空間における一般化射影作用素が、ヒルバート空間における距離射影作用素の自然な拡張として導入された。
• 適切な条件下で、一般化作用素は非拡大性および単調性といった重要な性質を継承し、反復法への応用が可能になる。
• 一般化射影作用素を用いて、変分不等式問題と射影方程式との間の同値定理が確立された。
• 提案された枠組みにより、バナッハ空間における変分不等式の解法および凸集合内の共通点の特定に反復的射影法を適用できるようになった。
• 理論的基盤が整い、古典的なヒルバート空間の技法をより一般なバナッハ空間設定へと拡張することが可能になった。
• 結果として、従来の距離射影作用素では取り扱えなかった問題が、一般化射影作用素によって効果的に解決可能であることが示された。