[論文レビュー] Metric and homogeneous structure of closed range operators

Gustavo Corach, Alejandra Maestripieri+1 more|ArXiv.org|Sep 14, 2005

Numerical methods in inverse problems参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間間の閉じた範囲をもつ有界線形作用素の計量および一様構造を調査し、作用素ノルムと範囲射影の距離を組み合わせた洗練された計量 $d_R$ を導入する。群作用 $(G,H) \cdot A = GAH^{-1}$ を用いて同次空間構造を確立し、核の次元 $ n(A) $、ランク $ r(A) $、欠損度 $ d(A) $ によって軌道を特徴づけ、$d_R$ および $d_N$ を用いて軌道間の距離を計算し、フレドホルム作用素および半フレドホルム作用素の階層的構造を与える。

ABSTRACT

Let $\CR$ be the set of all bounded linear operators between Hilbert spaces $\cH, \cK$. This paper is devoted to the study of the topological properties of $\CR$ if certain natural metrics are considered on it. We also define an action of the group $\G_\cH imes\G_\cK$ on $\CR$ and determine the orbits of this action. These orbits determine a stratification of the set of Fredholm and semi-Fredholm operators. Finally, we calculate the distance, with respect to some of the metrics mentioned above, between different orbits of $\CR$.

研究の動機と目的

• 標準的作用素ノルム位相では区別できないため、集合 $\mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ 上に標準的作用素ノルム位相よりも細かい位相を定義すること。
• 群作用 $ (G,H) \cdot A = GAH^{-1} $ を用いて $\mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ 上に同次的構造を定義・分析すること、ここで $ G \in \mathcal{G}_\mathcal{H}, H \in \mathcal{G}_\mathcal{K} $ である。
• 核の次元 $ n(A) $、ランク $ r(A) $、欠損度 $ d(A) $ の3つの不変量によってこの作用の軌道を特徴づけ、フレドホルム作用素および半フレドホルム作用素の階層的構造を与えること。
• $d_R$ および $d_N$ の計量を用いて、異なる軌道間の距離を計算し、$ \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ の構造に関する幾何学的および位相的洞察を提供すること。

提案手法

• 作用素ノルムを洗練させ、範囲射影の連続性を保証する計量 $ d_R(A,B) = \left( \|A - B\|^2 + \|P_{R(A)} - P_{R(B)}\|^2 \right)^{1/2} $ を導入する。
• 一般の閉じた範囲作用素を $ \mathcal{C}_P $ 内の正規作用素と部分等長作用素に結びつけるために、逆極分解 $ A = |A^*|V $ を用いる。
• $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $（固定された範囲 $ \mathcal{S} $ をもつ作用素）と $ \mathcal{C}_P \times \mathcal{PI}_\mathcal{S} $ の間に同相写像を確立し、局所的構造を同次空間を用いて研究可能にする。
• 群作用 $ L' $ を $ \mathcal{G}_\mathcal{S} \times \mathcal{U}_\mathcal{H} $ 上に定義し、$ L'(G,U)(A,V) = (GAG^*, VU^*) $ とすることで、軌道を同次空間としてモデル化する。
• [2] の結果を応用して、写像 $ \pi: \mathcal{G}_\mathcal{S} \times \mathcal{U}_\mathcal{H} \to \mathcal{C}_P \times \mathcal{PI}_\mathcal{S} $ の局所断面を構成し、軌道空間が局所的に同次的であることを保証する。
• $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $ の分解とムーア・ペンローズ逆行列の連続性を活用し、$ d_R $ および $ d_N $ を用いて軌道間の距離を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ノルム位相下で経路連結である作用素を区別できるように、$ \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ 上により細かい位相を定義する方法は何か？
• RQ2 群作用 $ (G,H) \cdot A = GAH^{-1} $ の下での軌道の構造は何か？ そして、不変量によってどのように特徴づけられるか？
• RQ3 $d_R$ および $d_N$ の計量は、$ \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ 内の異なる軌道間の幾何的分離度をどのように定量化するか？
• RQ4 $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $、すなわち固定された範囲 $ \mathcal{S} $ をもつ作用素の集合は、同次空間構造を備えられるか？ もしそうなら、どのように実現されるか？
• RQ5 連続的局所断面は、誘導された群作用の下で $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $ を同次空間として実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 計量 $ d_R $ は作用素ノルムよりも厳密に細かく、写像 $ A \mapsto P_{R(A)} $ の連続性を保証し、$ \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ 上に非自明な位相を定める。
• 作用 $ (G,H) \cdot A = GAH^{-1} $ の軌道は、核の次元 $ n(A) $、ランク $ r(A) $、欠損度 $ d(A) $ の3つの不変量によって完全に特徴づけられる。
• $ A \in \mathcal{CR}(\mathcal{H},\mathcal{K}) $ の軌道 $ \mathcal{O}_A $ は、$ \mathcal{G}_\mathcal{H} \times \mathcal{G}_\mathcal{K} / \text{Stab}(A) $ に位相的に同相であり、作用は局所的推移的である。
• $ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $、すなわち固定された範囲 $ \mathcal{S} $ をもつ作用素の集合は、$ \mathcal{C}_P \times \mathcal{PI}_\mathcal{S} $ に位相的に同相であり、ここで $ \mathcal{C}_P $ は範囲 $ \mathcal{S} $ をもつ正規作用素のトンプソン成分である。
• $d_R$ および $d_N$ の下での2つの異なる軌道間の距離は明示的に計算され、その結果は不変量 $ n(A), r(A), d(A) $ に依存する。
• $ \pi(G,U) = (GPG^*, WU^*) $ の連続的局所断面の存在により、$ \mathcal{CR}_\mathcal{S} $ は $ \mathcal{G}_\mathcal{S} \times \mathcal{U}_\mathcal{H} $ からの同次空間構造を引き継ぐ。