[論文レビュー] Metric axioms: a structural study

Jorge Bruno, Ittay Weiss|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Advanced Algebra and Logic参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定された集合 X 上の重み構造の集合に関連する、分離、対称性、三角不等式、恒等性の各度量公理のカテゴリカルかつ順序論的解析を提示する。これらの公理に関連する重み構造の集合の間で随伴を確立し、任意の有限ラティスが拡張度量空間の n-基本区間に埋め込まれることを示す。これにより、ラティス論と圏論を用いた度量空間の構造的基盤が構築される。

ABSTRACT

For a fixed set $X$, an arbitrary extit{weight structure} $d \in [0,\infty]^{X imes X}$ can be interpreted as a distance assignment between pairs of points on $X$. Restrictions (i.e. extit{metric axioms}) on the behaviour of any such $d$ naturally arise, such as separation, triangle inequality and symmetry. We present an order-theoretic investigation of various collections of weight structures, as naturally occurring subsets of $[0,\infty]^{X imes X}$ satisfying certain metric axioms. Furthermore, we exploit the categorical notion of adjunctions when investigating connections between the above collections of weight structures. As a corollary, we present several lattice-embeddability theorems on a well-known collection of weight structures on $X$.

研究の動機と目的

• 固定された集合 X 上で、さまざまな度量公理（分離、対称性、三角不等式など）を満たす重み構造の集合の順序論的および圏論的構造を調査すること。
• 異なる度量公理の部分集合によって定義される重み構造の集合の間の随伴を探索すること（例：対称性、三角不等式）。
• 度量構造が左および右の $\epsilon$-球を通じてどのように位相を誘導するかを分析し、得られる位相的構成を比較すること。
• 拡張度量空間のラティスにおけるラティス埋め込み定理を確立し、任意の有限ラティスが Met(X) の n-基本区間に埋め込まれることを示すこと。
• 拡張度量空間のラティス内でのメンガーの凸性およびその双対を特徴づけ、位相的性質と度量的性質を結びつけること。

提案手法

• 点ごとの順序で $[0,\infty]^{X\times X}$ を順序付け、公理の集合 $P$ を満たす各重み構造の集合 $W_P$ を完全ラティスに変換する。
• 各公理 $M$ に対して、$P$ に含まれない $M$ について、包含写像 $W_{P\cup M} \hookrightarrow W_P$ の左および右随伴 $M_*$ と $M_!$ を定義し、自然な対称化や他の構成を可能にする。
• 左および右の $\epsilon$-球を通じて度量構造から位相を構成し、写像 $d \mapsto (\tau_L, \tau_R)$ を定義し、その順序論的性質を分析する。
• 同値関係を拡張度量へ埋め込む方法 $d_\sim(a,b) = \alpha$（$a\sim b$ のとき）、それ以外は 1 として、$1 < \alpha < 2$ を満たすことで、ラティス埋め込みを実現する。
• Pudlák および Tůma の結果（有限ラティスが $Eq(X)$ に埋め込める）を活用し、$Eq(X)$ をそのような区間に埋め込むことで、任意の有限ラティスが $Met(X)$ の $n$-基本区間に埋め込まれることを証明する。
• $n$-基本区間の位相的不変性を分析する：$d \prec_n m$ かつすべての $x \neq y$ に対して $d(x,y) > 0$ ならば、$d$ と $m$ は $X$ 上で同じ位相を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称な重み構造の対称化プロセスは、圏論的随伴として形式化可能か？
• RQ2 三角不等式が成り立たない場合、左および右の $\epsilon$-球によって生成される位相はどのように関係するか？
• RQ3 $n$-基本区間内の2つの重み構造が、$X$ 上で同じ位相を生成する条件は何か？
• RQ4 任意の有限ラティスは、ある有限集合 $X$ 上の拡張度量空間のラティスに埋め込めるか？
• RQ5 メングーの凸性と 1-基本的極大性の関係は何か、拡張度量空間のラティス内で？

主な発見

• 任意の有限ラティスは、ある有限集合 $X$ に対して $Met(X)$ の $n$-基本区間に埋め込まれる。ここで $n = \frac{|X|(|X|-1)}{2}$ であり、強いラティス埋め込み結果が得られる。
• $d \prec_n m$ かつすべての $x \neq y$ に対して $d(x,y) > 0$ ならば、$d$ と $m$ は $X$ 上で同じ位相を生成する。これにより、$n$-基本区間の位相的不変性が示される。
• 写像 $d \mapsto (\tau_L, \tau_R)$ は、拡張度量から位相の対への写像であり、下界と上界を保存し、順序を保つ。
• 任意のメングーの凸またはメングー ∗ 凸な度量構造は、それぞれ 1-基本的極大または極小である。これにより、幾何的凸性と度量空間のラティス内での極値性が結びつけられる。
• $d_\sim(a,b) = \alpha$（$a\sim b$ のとき）、それ以外は 1 として、$1 < \alpha < 2$ を満たす構成により、同値関係のラティス $Eq(X)$ は $\psi^{-1}(\top)$、つまり位相写像の最大元の逆像に埋め込まれる。
• 拡張度量空間のラティス $Met(X)$ は、点ごとの下界と上界に対応する完全な順序論的構造を備え、すべての演算が度量公理を保存する。