[論文レビュー] Metric Diophantine approximation for systems of linear forms via dynamics

Dmitry Kleinbock, G. A. Margulis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、動的法を用いて、$ℝ^n$ 内の任意の有限個の滑らかで非退化な部分多様体の組の強い極値性を確立する。測度の平行移動に関する一般化された定量的非発散性推定値を証明することで、単一の形式にとどまらず、依存する系へとメトリックディオファントス近似理論を拡張し、このような測度が強く極値的であり、したがって部分多様体内のほとんどすべての行列が非常にうまく乗法的に近似可能でないことを示す。

ABSTRACT

The goal of this paper is to generalize the main results of [KM] and subsequent papers on metric Diophantine approximation with dependent quantities to the set-up of systems of linear forms. In particular, we establish `joint strong extremality' of arbitrary finite collection of smooth nondegenerate submanifolds of ${\bold R}^n$. The proofs are based on generalized quantitative nondivergence estimates for translates of measures on the space of lattices.

研究の動機と目的

• 依存する量のためのメトリックディオファントス近似の結果を、$m \times n$ 行列における線形形式の系へ一般化すること。
• $\mathbb{R}^n$ 内の滑らかで非退化な部分多様体が、それらのパラメトライゼーションによって誘導される測度に関して、同時に強く極値的であることを確立すること。
• $M_{m,n}$ 上の測度について、特に $\mathbb{R}^d$ から $M_{m,n}$ への滑らかな写像によって生じる測度について、均質的動的法の枠組みを拡張して強く極値的であることを証明すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^{m+n}$ 内のユニモジュラー格子の空間上の測度の平行移動に関する一般化された定量的非発散性推定値の使用。
• 線形形式の小さな値に関連する集合の測度の減衰を制御するための均質的流れの理論の応用。
• $\mathrm{SL}(m+n,\mathbb{R})$-作用が均質空間 $\mathrm{SL}(m+n,\mathbb{R}) / \mathrm{SL}(m+n,\mathbb{Z})$ 上に作用するダイナミクスを活用して、近似性質を分析する。
• [KM1] の技術を行列設定へ適応するため、非退化性の概念を形式の系へ拡張する。
• $\mathbb{R}^d$ から $M_{m,n}$ への滑らかで非退化な写像によって押し出される測度が、非発散性推定値を用いて強く極値的であることを証明する。
• 均質的と非均質的設定の間の転送原理を活用し、測度が収縮的である条件のもとで強く極値的であることが非均質的強く極値的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $M_{m,n}$ の滑らかな部分多様体において、そのリーマン計量測度が強い極値的であるための条件は何か？
• RQ2 $m=1$ の場合を除き、動的法を用いて線形形式の系に関連する測度の強い極値性を確立できるか？
• RQ3 写像 $F: \mathbb{R}^d \to M_{m,n}$ の非退化性と、押し出された測度 $F_*\lambda$ の極値性との間の正確な関係は何か？
• RQ4 行列設定において、非常にうまく近似可能な行列と非常にうまく乗法的に近似可能な行列の概念は、転置に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 $\min(m,n) > 1$ である $M_{m,n}$ の滑らかな部分多様体に対して、キンチン型定理をどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• $F: \mathbb{R}^d \to M_{m,n}$ である任意の滑らかで非退化な写像について、押し出された測度 $F_*\lambda$ は強く極値的であり、これは $\mu$-ほとんどすべての $Y \in M_{m,n}$ が非常にうまく乗法的に近似可能でないことを意味する。
• 任意の有限個の $\mathbb{R}^n$ 内の滑らかで非退化な部分多様体の組の強い極値性が確立され、これは単一形式の場合の一般化である。
• 格子空間上の測度に関する一般化された定量的非発散性推定値が証明され、近似速度を制御するための主要な技術的道具として用いられる。
• $F_*\lambda$ がほとんど everywhere で強く収縮的であることが示され、[BV] の結果により非均質的強く極値的であることが導かれる。
• 非常にうまく乗法的に近似可能な行列の集合は零レベーグ測度を持つことが確認され、これは広範な滑らかな測度のクラスへと拡張される。
• 任意の固定された $\mathbf{z} \in \mathbb{R}^m$ に対して、$(Y,\mathbf{z})$ が非常にうまく乗法的に近似可能な行列 $Y$ の集合は、$F_*\lambda$ の下で零測度であることが示される。