[論文レビュー] Metric flips with Calabi ansatz

Jian Song, Yuan Yuan|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Calabi対称性を満たす初期計量のもとで、複素多様体 $X_{m,n} = \mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus(m+1)})$ 上のケーラー・リッチフローを研究し、距離のフラップ（flip）が発生し、Gromov-Hausdorff空間で特異点が解消されることを示している。主な結果は、フローが $\mathbb{P}^n$ に崩壊するか、点に収束するか、または余次元 $m+1$ の部分多様体を収縮するかのいずれかであり、初期ケーラー類パラメータに応じて、射影錐または滑らかな極限に収束する。

ABSTRACT

We study the limiting behavior of the Kahler-Ricci flow on $\mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)^{\oplus (m+1)})$, assuming the initial metric satisfies the Calabi symmetry. We show that the flow either shrinks to a point, collapses to $\mathbb{P}^n$ or contracts a subvariety of codimension m+1 in Gromov-Hausdorff sense. We also show that the Kahler-Ricci flow resolves certain type of conical singularities in Gromov-Hausdorff sense.

研究の動機と目的

• プロジェクト型トーリック多様体 $X_{m,n}$ 上のケーラー・リッチフローの極限挙動を、Calabi対称性を持つ初期計量のもとで理解すること。
• ケーラー・リッチフローを用いて代数的トランジッション（特にフラップと除法的収縮）の解析的実現を確立すること。
• 特に $m=n$ の場合に、Gromov-Hausdorff位相において特異点を解消すること。
• 初期ケーラー類パラメータに応じて、極限空間が点、$\mathbb{P}^n$、または射影錐 $Y_{m,n}$ であるかどうかにかかわらず、フローのGromov-Hausdorff収束を証明すること。

提案手法

• Calabiのアンサッツを用いて、ケーラー・リッチフローを次元が低い空間上のスカラー放物型偏微分方程式に還元することで、$X_{m,n}$ 上のフローを分析する。$X_{m,n}$ は余次元 $m+1$ の特別な部分多様体 $P_0$ を持つプロジェクト型トーリック多様体である。
• 特異点を $P_0$ の近傍で制御するため、一連のケーラー計量 $\omega_\delta(t) = \omega(t) + \delta\theta + \frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\partial\bar{\partial}\varphi_\delta$ を用いた摂動法を用い、一様推定を確立する。
• 潜在関数 $u_\delta(t)$ に対する $C^0$ および $C^2$ 推定を導出し、$g(t)$ における $X_{m,n} \setminus P_0$ の計量的完備化が有限直径を持ち、射影錐 $Y_{m,n}$ と位相的に同相であることを示す。
• 距離関数 $D(t)$ が、変形する計量空間と極限空間 $Y_{m,n}$ や $\mathbb{P}^n$ 間の連続性を示すことで、Gromov-Hausdorff収束を確立する。
• $m=n$ の場合、フローは特異な錐 $Y_{n,n}$ 上で継続可能であり、$t \to T$ のとき $Y_{n,n}$ の直径がゼロに近づくことを示すことで、有限時刻での消滅を証明する。
• 特異点集合付近での計量の漸近的推定に依拠し、$T-t$ および径方向座標 $\rho$ に対して $u'$ と $u''$ の境界を示すことで、一様な制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi対称性を満たす $X_{m,n}$ 上のケーラー・リッチフローが、Gromov-Hausdorff位相で滑らかな極限に収束する条件は何か？
• RQ2 特に $m=n$ の場合に、ケーラー・リッチフローはGromov-Hausdorff位相で特異点を解消できるか？
• RQ3 初期ケーラー類パラメータ $a_0$ と $b_0$ に応じて、フローの極限挙動はどのように変化するか？
• RQ4 フローは余次元 $m+1$ の部分多様体を収縮する距離のフラップを示すか？ もし示すならば、どのような条件下か？
• RQ5 特異時刻 $T$ まで、変形する計量空間と極限空間との間のGromov-Hausdorff距離 $D(t)$ は連続的か？

主な発見

• $m < n$ かつ $b_0/(m+2) > a_0/(n-m)$ のとき、フローはGromov-Hausdorff位相で $X_{m,n} \setminus P_0$ の計量的完備化に収束し、その空間はセグレ埋め込みによる $\mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^n$ 上の射影錐 $Y_{m,n}$ と位相的に同相である。
• $m < n$ かつ $b_0/(m+2) = a_0/(n-m)$ のとき、$t \to T = a_0/(n-m)$ のとき、フローはGromov-Hausdorff位相で点に崩壊する。
• $m < n$ かつ $b_0/(m+2) < a_0/(n-m)$ のとき、フローはGromov-Hausdorff位相で $\mathbb{P}^n$ に収束し、その計量はFubini-Study計量のスカラー倍、すなわち $(a_0 - \frac{n-m}{m+2}b_0)\omega_{FS}$ である。
• $m \geq n$ のとき、フローは同様に $\mathbb{P}^n$ に収束し、同じFubini-Study計量を有し、フローは $\mathbb{P}^n$ 上で有限時刻まで継続可能であり、消滅する。
• $m = n$ のとき、$g(t)$ における $Y_{n,n} \setminus \{O\}$ の計量的完備化の直径は $t \to T$ のときゼロに近づくため、特異な錐上で有限時刻での消滅が証明される。
• 変形空間と極限空間との間のGromov-Hausdorff距離 $D(t)$ は $[0,T)$ 上で連続的であり、$\lim_{t \to 0} D(t) = 0$ を満たす。