[論文レビュー] Metric Geometry of Spaces of Persistence Diagrams

Mauricio Che, Fernando Galaz‐García+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2021

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、関手 $\mathcal{D}_p$ を導入することで、パーシステンス図の空間に対する幾何的枠組みを確立し、$p=2$ に対して逐次連続性、完備性、分離可能性、測地線的性質、非負の曲率を証明する。主な結果は、ユークリッドパーシステンス図の空間 $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}, \Delta_n)$ が無限大の被覆次元、ハウスドルフ次元、漸近次元を持つことである。

ABSTRACT

Persistence diagrams are objects that play a central role in topological data analysis. In the present article, we investigate the local and global geometric properties of spaces of persistence diagrams. In order to do this, we construct a family of functors $\mathcal{D}_p$, $1\leq p \leq\infty$, that assign, to each metric pair $(X,A)$, a pointed metric space $\mathcal{D}_p(X,A)$. Moreover, we show that $\mathcal{D}_{\infty}$ is sequentially continuous with respect to the Gromov-Hausdorff convergence of metric pairs, and we prove that $\mathcal{D}_p$ preserves several useful metric properties, such as completeness and separability, for $p \in [1,\infty)$, and geodesicity and non-negative curvature in the sense of Alexandrov, for $p=2$. For the latter case, we describe the metric of the space of directions at the empty diagram. We also show that the Fréchet mean set of a Borel probability measure on $\mathcal{D}_p(X,A)$, $1\leq p \leq\infty$, with finite second moment and compact support is non-empty. As an application of our geometric framework, we prove that the space of Euclidean persistence diagrams, $\mathcal{D}_{p}(\mathbb{R}^{2n},Δ_n)$, $1\leq n$ and $1\leq p<\infty$, has infinite covering, Hausdorff, asymptotic, Assouad, and Assouad-Nagata dimensions.

研究の動機と目的

• ユークリッド的でない設定を超えた一般化されたパーシステンス図の空間の体系的幾何的枠組みの構築を目的とする。
• パーシステンス図の空間の局所的および大域的メトリック的性質（完備性、分離可能性、測地線的性質、曲率など）を調査すること。
• 二階モーメントが有限である確率測度に対して、フレシェ平均集合が存在し非空であるための条件を確立すること。
• ユークリッドパーシステンス図の空間の漸近次元、被覆次元、ハウスドルフ次元を特定すること。
• $p$-ウォッサーシュタイン距離とアレクサンドロフ幾何学に関する既知の結果を、より広いクラスのメトリック対に拡張すること。

提案手法

• メトリック対 $(X,A)$ を点付きメトリック空間 $\mathcal{D}_p(X,A)$ に写像する関手 $\mathcal{D}_p$ の族を構築し、パーシステンス図における $p$-ウォッサーシュタイン距離を一般化する。
• $\mathcal{D}_\infty$ がメトリック対のグロモフ＝ハウスドルフ収束に関して逐次連続であることを証明する。
• $p \in [1,\infty)$ に対して $\mathcal{D}_p$ が完備性と分離可能性を保つこと、$p=2$ に対して測地線的性質と非負の曲率（アレクサンドロフ）を保つことを示す。
• より単純な空間（例：$[0,\infty)^N / S_N$）からの双リプシッツ埋め込みを用いて次元性質を転送する。
• 特に等長群作用および商写像に関する不変性に着目した漸近次元理論の結果を適用する。
• $\mathcal{D}_2([0,\infty), \{0\})$ が無限大の漸近次元を持つこと（任意の $N$ に対して $[0,\infty)^N / S_N$ に等長である）を用い、これをより複雑な空間へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パーシステンス図のメトリック幾何を、ユークリッド空間を越えて体系的に一般化する方法は何か？
• RQ2 どのような条件下で空間 $\mathcal{D}_p(X,A)$ は完備、分離可能、または測地線的となるか？
• RQ3 空間 $\mathcal{D}_2(X,A)$ はアレクサンドロフの意味で非負の曲率を持つだろうか？
• RQ4 $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}, \Delta_n)$ の漸近次元、被覆次元、ハウスドルフ次元は何か？
• RQ5 パーシステンス図の空間 $\mathcal{D}_p(X,A)$ 上のボレル確率測度に対して、フレシェ平均集合が存在し非空のまま保たれる条件は何か？

主な発見

• $\mathcal{D}_\infty$ はメトリック対のグロモフ＝ハウスドルフ収束に関して逐次連続である。
• $p \in [1,\infty)$ に対して、$\mathcal{D}_p$ は元のメトリック対 $(X,A)$ の完備性と分離可能性を保つ。
• $p=2$ のとき、$\mathcal{D}_2(X,A)$ はアレクサンドロフの意味で非負の曲率を持つ測地線的空間である。
• 任意のボレル確率測度が有限第二モーメントとコンパクトな台を持つ場合、$\mathcal{D}_p(X,A)$ 上のフレシェ平均集合は非空である。
• $\mathcal{D}_2([0,\infty), \{0\})$ は無限大の漸近次元を持つ。これは任意の $N$ に対して $[0,\infty)^N / S_N$ に等長であるためである。
• $\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}, \Delta_n)$、$\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}_+, \Delta_n)$、$\mathcal{D}_2(\mathbb{R}^{2n}_{\geq 0}, \Delta_n)$ のすべての空間が、無限大の被覆次元、ハウスドルフ次元、漸近次元を持つ。