[論文レビュー] Metric gluing of Brownian and $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity surfaces

Ewain Gwynne, Jason Miller|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$∜{8/3}$-Liouville量子重力（LQG）表面——特に量子ウェッジ、コーン、ディスク——をLQG長さを用いて境界に沿ってメトリック接着することで、コンformal gluingによって得られる表面と等長であることを確立する。主な結果は、接着された表面のメトリックが個々のLQGメトリックからの商メトリックに等しいこと、および接着領域間の界面がSLE$_{8/3}$曲線であることであり、これによりメトリック接着が$∜{8/3}$-LQG設定におけるSchramm-Loewner進化（SLE）と結びつく。

ABSTRACT

In a recent series of works, Miller and Sheffield constructed a metric on $\sqrt{8/3}$-Liouville quantum gravity (LQG) under which $\sqrt{8/3}$-LQG surfaces (e.g., the LQG sphere, wedge, cone, and disk) are isometric to their Brownian surface counterparts (e.g., the Brownian map, half-plane, plane, and disk). We identify the metric gluings of certain collections of independent $\sqrt{8/3}$-LQG surfaces with boundaries identified together according to LQG length along their boundaries. Our results imply in particular that the metric gluing of two independent instances of the Brownian half-plane along their positive boundaries is isometric to a certain LQG wedge decorated by an independent chordal SLE$_{8/3}$ curve. If one identifies the two sides of the boundary of a single Brownian half-plane, one obtains a certain LQG cone decorated by an independent whole-plane SLE$_{8/3}$. If one identifies the entire boundaries of two Brownian half-planes, one obtains a different LQG cone and the interface between them is a two-sided variant of whole-plane SLE$_{8/3}$. Combined with another work of the authors, the present work identifies the scaling limit of self-avoiding walk on random quadrangulations with SLE$_{8/3}$ on $\sqrt{8/3}$-LQG.

研究の動機と目的

• LQG長さを用いて$∜{8/3}$-LQG表面の境界に沿ってメトリック接着を行うと、等長な表面が得られることを確立すること。
• 接着された表面におけるメトリックが、個々のLQGメトリックからの商メトリックに等価であることを証明すること。
• 接着領域間の界面がSLE$_{8/3}$曲線であることを特定し、メトリック接着をSchramm-Loewner進化（SLE）と結びつけること。
• ブラウン運動表面と$∜{8/3}$-LQG表面の間の等長性を、メトリック接着の設定へと拡張すること。
• 自己回避ウォークのスケーリング極限が、$∜{8/3}$-LQG上でのSLE$_{8/3}$として得られることを、厳密な基礎づけを行うこと。

提案手法

• MillerとSheffield（2015–2016）の$∜{8/3}$-LQGメトリック構成を用いて、量子表面における距離関数を定義する。
• LQG長さによる独立した$∜{8/3}$-LQG表面の境界を特定し、商メトリック空間を形成するためのメトリック接着技術を適用する。
• ブラウン運動表面（例：ブラウン運動半平面）と$∜{8/3}$-LQG表面（例：量子ウェッジ）との間の等長性を活用し、結果を転送する。
• 接着領域間の界面曲線としてSLE$_{8/3}$を用い、[DMS14]および[She16a]のコンformal welding結果に依拠する。
• LQG測度の大偏差推定とモーメントバウンド（例：補題A.1およびA.2）を用い、スケーリング下での直径成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界に沿って二つの$∜{8/3}$-LQG表面をLQG長さを用いてメトリック接着すると、個々のメトリックからの商メトリックと等価になるか？
• RQ2 二つの接着された$∜{8/3}$-LQG表面間の界面は、ほとんど確実にSLE$_{8/3}$曲線に対応するか？
• RQ3 単一のブラウン運動半平面の両側を境界で同一視することで、全平面SLE$_{8/3}$を有する$∜{8/3}$-LQGコーンが得られるか？
• RQ4 スケーリング極限としての自己回避ウォークのメトリック構造は、ランダム四角形分割上での$∜{8/3}$-LQG表面の構造とどのように関係するか？
• RQ5 $∜{8/3}$-LQG測度と境界長さは、メトリック接着における等長性の保存に果たす役割は何か？

主な発見

• 独立した二つの$∜{8/3}$-LQG量子ウェッジを境界に沿ってメトリック接着すると、独立した片方向SLE$_{8/3}$曲線を装飾した$∜{8/3}$-LQGウェッジと等長である。
• 単一のブラウン運動半平面の境界の両側を同一視することで、独立した全平面SLE$_{8/3}$曲線を有する$∜{8/3}$-LQGコーンが得られる。
• 二つのブラウン運動半平面の全境界を接着すると、別の$∜{8/3}$-LQGコーンが得られ、界面は全平面SLE$_{8/3}$の二重側バージョンとなる。
• $∜{8/3}$-LQGメトリックは、接着された表面において個々の表面からの商メトリックと一致し、この文脈におけるメトリック接着が適切に定義されていることが確認された。
• 有界領域に制限された領域の直径は、補題A.2によるべき乗法的尾部バウンドを用いて、高確率で有界であることが示された。
• ランダム四角形分割上での自己回避ウォークのスケーリング極限が、$∜{8/3}$-LQG上でのSLE$_{8/3}$として特定され、分野における重要な予想が完了した。