[論文レビュー] Metric Lie groups admitting dilations

Enrico Le Donne, Sebastiano Nicolussi Golo|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、1パラメータの尺度変換群を許容するリー群上の左不変距離を調査し、このような距離が常に適切（多様体位相を誘導）であり、その存在に必要な代数的条件を同定する。主な貢献は、このような尺度変換を生成する微分作用素の完全な特徴付けであり、存在性がリー群が連結で単連結かつ冪指数的であること、および無限小生成子の固有値にスペクトル制約が生じることを示している。

ABSTRACT

We consider left-invariant distances $d$ on a Lie group $G$ with the property that there exists a multiplicative one-parameter group of Lie automorphisms $(0, \infty) ightarrow\mathtt{Aut}(G)$, $λ\mapstoδ_λ$, so that $ d(δ_λx,δ_λy) = λd(x,y)$, for all $x,y\in G$ and all $λ>0$. First, we show that all such distances are admissible, that is, they induce the manifold topology. Second, we characterize multiplicative one-parameter groups of Lie automorphisms that are dilations for some left-invariant distance in terms of algebraic properties of their infinitesimal generator. Third, we show that an admissible left-invariant distance on a Lie group with at least one nontrivial dilating automorphism is biLipschitz equivalent to one that admits a one-parameter group of dilating automorphisms. Moreover, the infinitesimal generator can be chosen to have spectrum in $[1,\infty)$. Fourth, we characterize the automorphisms of a Lie group that are a dilating automorphisms for some admissible distance. Finally, we characterize metric Lie groups admitting a one-parameter group of dilating automorphisms as the only locally compact, isometrically homogeneous metric spaces with metric dilations of all factors. Such metric spaces appear as tangents of doubling metric spaces with unique tangents.

研究の動機と目的

• リー群上で1パラメータの計量的尺度変換群を許容する左不変距離を特徴付ける。
• このような尺度変換の無限小生成子に関する必要十分な代数的条件を、関連する距離の存在に結びつける。
• 少なくとも1つの非自明な尺度変換自己同型を許容する適切な左不変距離は、1パラメータ尺度変換群を許容する距離とリプシッツ同値であることを示す。
• リー群のどの自己同型が、ある適切な距離に関して尺度変換自己同型として現れるかを特定する。
• 1パラメータ尺度変換自己同型群を許容する計量リー群を、すべてのスケーリング要因に対して計量的尺度変換を持つ、局所コンパクトかつ等長的同次的距離空間として特徴付ける。

提案手法

• リー自己同型の1パラメータ群の理論を用いて、微分作用素 $A \in \mathrm{Der}(\mathfrak{g})$ を通じて $A$-同次距離を定義する。
• 群上の作用 $\delta_\lambda = \lambda^A$ の分析を通じて、$A$-同次距離が適切（多様体位相を誘導）であることを証明する。
• 微分作用素 $A$ の一般固有空間から誘導される階層とスペクトル条件を用いて、$A$-同次距離の存在を特徴付ける。
• ジョルダン＝シェバリエ分解を用いて $A$ の半単純部と冪零部に分離し、その構造を分析する。
• リプシッツ同値を用いて、一般の $A$-同次距離を実スペクトルを持つものに還元する。特に、$A$ が $\mathbb{C}$ 上で対角化可能である場合を対象とする。
• 非対角化可能な $A$ が複素固有値を持つ例を構成することで、すべての $A$-同次距離が実スペクトル生成子から生じるわけではないことを反例で示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群 $G$ 上に $A$-同次距離が存在するための、微分作用素 $A$ に関する代数的条件は何か？
• RQ2 非自明な尺度変換自己同型を許容するリー群上の任意の適切な左不変距離は、1パラメータ尺度変換群を許容する距離とリプシッツ同値にできるか？
• RQ3 リー群のどの自己同型が、ある適切な距離に関して尺度変換自己同型として現れるか？
• RQ4 1パラメータ尺度変換自己同型群を許容する計量リー群の内的幾何的特徴付けは何か？
• RQ5 すべてのスケーリング要因に対して計量的尺度変換を持つが、実スペクトル生成子 $A$ を持つ $A$-同次空間と同相でない距離空間は存在するか？

主な発見

• リー群 $G$ 上の任意の $A$-同次距離は適切であり、多様体位相を誘導する。したがって $G$ は連結でなければならない。
• $A$-同次距離が $G$ 上に存在するための必要十分条件は、$G$ が連結かつ simply connected であり、$V_t = 0$ がすべての $t < 1$ に対して成り立ち、$A|_{V_1}$ が $\mathbb{C}$ 上で対角化可能であることである。
• 微分作用素 $A$ のスペクトルが直線 $1 + i\mathbb{R}$ 上にあるならば、任意の $A$-同次距離は同型 $\mathrm{Id}$-同次でもあり、すなわちアーベル群上のノルムである。
• 実スペクトル生成子 $A$ を持つ $A$-同次空間と同相でない、局所コンパクトかつ等長的同次の距離空間に計量的尺度変換を持つ例が存在する。これは複素スペクトルの必要性を示している。
• 少なくとも1つの非自明な尺度変換自己同型を許容するリー群上の任意の適切な左不変距離は、スペクトルが $[1, \infty)$ にある生成子をもつ1パラメータ尺度変換自己同型群を許容する距離とリプシッツ同値である。
• 1パラメータ尺度変換自己同型群を許容する計量リー群は、すべてのスケーリング要因に対して計量的尺度変換を持つ、唯一の局所コンパクトかつ等長的同次の距離空間であり、また、一意な接空間を持つダブリング距離空間の接空間として現れる。