[論文レビュー] Metric-locating-dominating partitions in graphs

Carmen Hernando, Mercè Ferrater Mora+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 17被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、グラフにおけるメトリック・ロケーション・ドミネーティング分割の概念を導入し、2つの新しいグラフ不変量、分割メトリック・ロケーション・ドミネーション数 $\sigma_p(G)$ および分割次元 $s_p(G)$ を定義する。すべての連結グラフに対して $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$ が成り立つことが示され、また、$\sigma_p(G) = n-1$、$\sigma_p(G) = n-2$、または $s_p(G) = n-2$ を満たす位数7のすべての連結グラフが同定され、両不変量のタイトなノードス・ガッデム境界が確立される。

ABSTRACT

A partition ? = { S 1 ,...,S k } of the vertex set of a connected graph G is a metric-locating partition of G if for every pair of vertices u,v belonging to the same part S i , d ( u,S j ) 6 = d ( v,S j ), for some other part S j . The partition dimension s p ( G ) is the minimum cardinality of a metric- locating partition of G . A metric-locating partition ? is called metric-locating-dominanting if for every vertex v of G , d ( v,S j ) = 1, for some part S j of ?. The partition metric-location-domination number ? p ( G ) is the minimum cardinality of a metric-locating-dominating partition of G . In this paper we show, among other results, that s p ( G ) = ? p ( G ) = s p ( G ) + 1. We also charac- terize all connected graphs of order n = 7 satisfying any of the following conditions: ? p ( G ) = n - 1, ? p ( G ) = n - 2 and s p ( G ) = n - 2. Finally, we present some tight Nordhaus-Gaddum bounds for both the partition dimension s ( G ) and the partition metric-location-domination number ? ( G ). Keywords: dominating partition, locating partition, location, domination, metric location

研究の動機と目的

• 連結グラフにおけるメトリック・ロケーション・ドミネーティング分割を定義し、その性質を調査すること。
• 分割メトリック・ロケーション・ドミネーション数 $\sigma_p(G)$ および分割次元 $s_p(G)$ という2つの新しいグラフ不変量を導入し、それらを分析すること。
• 位数 $n = 7$ で $\sigma_p(G) = n-1$、$\sigma_p(G) = n-2$、または $s_p(G) = n-2$ を満たすすべての連結グラフを同定すること。
• $s_p(G)$ および $\sigma_p(G)$ の両不変量に対してタイトなノードス・ガッデム境界を確立すること。
• $\sigma_p(G)$ と $s_p(G)$ の関係を明確にし、$\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$ を証明すること。

提案手法

• 同じ部に属する頂点が他の部への距離によって区別可能であるような頂点分割をメトリック・ロケーション分割と定義する。
• すべての頂点が分割の少なくとも1つの部に隣接していることを要求することで、メトリック・ロケーション・ドミネーティング分割を導入する。
• 距離に基づく基準を用いて、分割における位置特定とドミネーションの両方の性質を保証する。
• 極値グラフ理論の手法を用いて、特定の $\sigma_p(G)$ および $s_p(G)$ の値をとる位数7のすべての連結グラフを分類する。
• グラフとその補グラフの不変量の和および積を分析することで、ノードス・ガッデム型不等式を導出する。
• グラフ分割の構造的および距離的性質に基づいた議論を通じて、恒等式 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割メトリック・ロケーション・ドミネーション数 $\sigma_p(G)$ と分割次元 $s_p(G)$ の関係は何か？
• RQ2 位数 $n = 7$ のどの連結グラフが $\sigma_p(G) = n-1$、$\sigma_p(G) = n-2$、または $s_p(G) = n-2$ を満たすか？
• RQ3 $s_p(G)$ および $\sigma_p(G)$ のタイトなノードス・ガッデム境界は何か？
• RQ4 メトリック・ロケーション・ドミネーティング分割の性質は、標準的なロケーション分割やドミネーティング分割とはどのように異なるか？
• RQ5 恒等式 $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$ はすべての連結グラフに対して普遍的に成立するか？

主な発見

• 本稿では、すべての連結グラフ $G$ に対して、分割メトリック・ロケーション・ドミネーション数が $\sigma_p(G) = s_p(G) + 1$ を満たすことを証明している。
• 位数 $n = 7$ で $\sigma_p(G) = n-1$ を満たすすべての連結グラフが完全に同定されている。
• 位数 $n = 7$ で $\sigma_p(G) = n-2$ を満たすすべての連結グラフが完全に同定されている。
• 位数 $n = 7$ で $s_p(G) = n-2$ を満たすすべての連結グラフが完全に同定されている。
• $s_p(G)$ および $\sigma_p(G)$ の両不変量に対してタイトなノードス・ガッデム境界が確立され、グラフとその補グラフの不変量の和および積に関する鋭い不等式が得られた。
• 結果から、メトリック・ロケーション・ドミネーティング分割は、不変量の $+1$ オフセットが示すように、メトリック・ロケーション分割よりも厳密に強い条件であることが明らかになった。