[論文レビュー] Metric operator for the imaginary cubic oscillator does not exist

Petr Siegl, David Krejčiřı́k|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、PT対称な虚数的三次振動子が、固有ベクトルが完全であるがリース基底でないため、有界で逆有界な計量演算子を有さないことを示している。その結果、固有の特異計量が生じる。したがって、有界な類似変換による標準的量子力学的ハミルトニアンの構成は不可能であり、スペクトル不安定性と非自明な擬スペクトルが生じる。

ABSTRACT

We show that the eigenvectors of the PT-symmetric imaginary cubic oscillator are complete, but do not form a Riesz basis. This results in the existence of a bounded metric operator having intrinsic singularity reflected in the inevitable unboundedness of the inverse. Moreover, the existence of non-trivial pseudospectrum is observed. In other words, there is no quantum-mechanical Hamiltonian associated with it via bounded and boundedly invertible similarity transformations. These results open new directions in physical interpretation of PT-symmetric models with intrinsically singular metric, since their properties are essentially different with respect to self-adjoint Hamiltonians, for instance, due to spectral instabilities.

研究の動機と目的

• PT対称な虚数的三次振動子に対する有界計量演算子の存在を調査すること。
• ハミルトニアンの固有ベクトルがリース基底をなすかどうかを特定すること。これは、良好に振る舞う計量構造を示唆する。
• PT対称量子系における本質的特異計量の物理的意味を分析すること。
• 擬スペクトルの存在と、非自己共役ハミルトニアンにおけるスペクトル安定性に与える影響を調査すること。

提案手法

• PT対称領域における虚数的三次振動子ハミルトニアンのスペクトル的性質の分析。
• 固有ベクトルが完全であるがリース基底をなさないことを証明し、一様なリース基底条件の不成立を示す。
• 計量演算子の有界性とその逆演算子の避けられない非有界性の導出により、本質的特異性を明らかにする。
• スペクトル理論を用いた擬スペクトルの調査により、非自明なスペクトル不安定性を検出する。
• 関数解析的ツールを用いて、自己共役ハミルトニアンへの有界な類似変換の可能性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚数的三次振動子は、自己共役ハミルトニアンへのユニタリ同値性を許容する有界計量演算子を有するか？
• RQ2 虚数的三次振動子の固有ベクトルはヒルベルト空間においてリース基底をなすか？
• RQ3 計量演算子が有界であるがその逆が非有界であるという事態の結果は何か？
• RQ4 非自明な擬スペクトルの存在が、モデルの物理的解釈に与える影響は何か？
• RQ5 この系は、有界かつ逆有界な類似変換を用いて標準的量子力学的ハミルトニアンで記述可能か？

主な発見

• 虚数的三次振動子の固有ベクトルはヒルベルト空間において完全であるが、リース基底をなさない。
• 有界計量演算子は存在するが、その逆は必然的に非有界であり、本質的特異性を示唆する。
• この系は、自己共役ハミルトニアンへの有界かつ逆有界な類似変換による量子力学的記述を許さない。
• 非自明な擬スペクトルが存在し、スペクトル不安定性と自己共役性からの逸脱を示唆する。
• 結果として、本質的に特異な計量を持つPT対称モデルは、自己共役系とは根本的に異なる物理的性質を示すことが示唆され、特にスペクトルの頑健性に関して顕著な相違を示す。