[論文レビュー] Metric projection and convergence theorems for nonexpansive mappings in Hadamard spaces

Hossein Dehghan, Jamal Rooin|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 5被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、擬線形化を用いてハダマード空間における距離射影の変分的特徴づけを確立し、$ u = P_C x $ がすべての $ y \in C $ に対して $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $ を満たすことと同値であることを証明している。その後、非拡大写像の不動点集合への距離射影に強く収束する摂動を含む2つの反復的アルゴリズムを導入した。

ABSTRACT

For a nonempty convex subset $C$ of a Hadamard space $X$, it is proved that $u=P_Cx$ if and only if $\langle\overrightarrow{xu},\overrightarrow{uy} angle \geqslant0$ for all $y\in C$. As an application of this characterization, we prove strong convergence of two iterative algorithms with perturbations for nonexpansive mappings.

研究の動機と目的

• 擬線形化を用いてハダマード空間における距離射影の変分不等式的特徴づけを確立すること。
• 線形構造を欠くハダマード空間へ、バナッハ空間における非拡大写像の収束結果を拡張すること。
• ハダマード空間における不動点に強く収束する摂動を含む反復的アルゴリズムを開発すること。
• 反復列が与えられた初期点から不動点集合における最近傍点に強く収束することを証明すること。
• 非正曲率を持つ距離空間における非線形解析および最適化への反復的手法の応用の基盤を提供すること。

提案手法

• ハダマード空間では内積が存在しないため、$ \langle \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{cd} \rangle = \frac{1}{2}(d^2(a,d) + d^2(b,c) - d^2(a,c) - d^2(b,d)) $ を用いて内積の代わりに擬線形化を定義する。
• すべての $ y \in C $ に対して $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $ が成り立つことと $ u = P_C x $ が同値であることを証明し、ヒルバート空間における射影特徴づけを一般化する。
• 2つの反復的アルゴリズムを導入：1つは摂動を含む凸結合を用いたもの、もう1つはパラメータを用いた2段階反復スキームを用いたもの。
• CAT(0)空間における一般化された半閉性原理とコーシー＝シュワルツの不等式を用いて収束挙動を制御する。
• リウの補題と $ d^2(x_{n+1}, q) \leq (1 - \gamma_n)d^2(x_n, q) + \gamma_n \delta_n + \sigma_n $ の形の再帰的不等式を用いて収束を証明する。
• 列の有界性と漸近的正則性を用いて、列の極限が存在し、かつ不動点集合に属することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬線形化を用いて、ハダマード空間における距離射影に対して変分不等式条件を確立できるか？
• RQ2 ハダマード空間において非拡大写像の反復的アルゴリズムを設計し、不動点に強く収束させるにはどうすればよいか？
• RQ3 パラメータおよび摂動にどのような条件を課すと、反復列が不動点集合に収束するか？
• RQ4 反復列の極限が初期点から不動点集合における最近傍点に一致するか？
• RQ5 ヒルバート空間／バナッハ空間における収束結果を、非線形的かつ非正曲率を持つ距離空間（ハダマード空間）へ拡張できるか？

主な発見

• ハダマード空間における距離射影 $ P_C x $ は、すべての $ y \in C $ に対して $ \langle \overrightarrow{xu}, \overrightarrow{uy} \rangle \geq 0 $ を満たすことと $ u = P_C x $ が同値であることを示し、変分的特徴づけを提供する。
• $ x_{n+1} = (1 - \beta_n)y_n \oplus \beta_n z_n $ で定義される反復的アルゴリズムは、$ y_n = \alpha_n o \oplus (1 - \alpha_n)Tx_n $ および $ z_n = Tx_n $ を満たし、$ P_{F(T)}o $ に強く収束する。
• 2番目のアルゴリズム $ x_{n+1} = (1 - \beta_n)x_n \oplus \beta_n (\alpha_n u_n \oplus (1 - \alpha_n)Tx_n) $ も同様の条件下で同じ極限に強く収束する。
• 極限点 $ q $ はすべての $ p \in F(T) $ に対して $ \langle \overrightarrow{qo}, \overrightarrow{qp} \rangle \leq 0 $ を満たし、$ q = P_{F(T)}o $、すなわち $ o $ の不動点集合への距離射影であることが確認される。
• リウの補題に従い、条件 $ \gamma_n = \beta_n \alpha_n $、$ \sum \gamma_n = \infty $、$ \gamma_n \to 0 $、$ \delta_n \to 0 $、$ \sum \sigma_n < \infty $ を満たすと収束が保証される。
• 証明は、CAT(0)空間におけるコーシー＝シュワルツの不等式と、線形空間における内積恒等式の代わりに擬線形化を用いることに依存する。