[論文レビュー] Metric properties of semialgebraic mappings

Krzysztof Kurdyka, Stanisław Spodzieja+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、閉集合 $ X \subset \mathbb{R}^n $ 上の過剰定義された半代数的写像 $ F: X \to \mathbb{R}^m $（$ m > \dim X $）について、半代数的集合および写像の文脈において Łojasiewicz 指数の有効な上界と下界を確立し、局所的および大域的 Łojasiewicz 指数が、$ k = \dim X $ および一般の線形写像 $ L $ を用いた合成写像 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $ のそれらと一致することを証明する。これらの結果は、複素解析的推定値を明示的な次数に基づく境界を伴って実半代数的設定に一般化するものである。

ABSTRACT

We give an effective estimation from above for the local Łojasiewicz exponent for separation of semialgebraic sets and for a semialgebraic mapping on a closed semialgebraic set. We also give an effective estimation from below of the Łojasiewicz exponent in the global separation for semialgebraic sets and estimation of the Łojasiewicz exponent at infinity of a semialgebraic mapping similar to the Jelonek result in the complex case.

研究の動機と目的

• 複素代数幾何における大域的および局所的 Łojasiewicz 指数推定値を、実半代数的設定に拡張すること。
• 半代数的集合の分離問題にかかわる Łojasiewicz 指数の有効な、次数に基づく上界および下界を提供すること。
• 過剰定義された半代数的写像 $ F: X \to \mathbb{R}^m $ の Łojasiewicz 指数が、一般の線形写像 $ L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k $ を用いた合成写像 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $（$ k = \dim X $）のそれと等しいことを確立すること。
• Jelonek や Cygan や Kollár の古典的結果を、有効な定量的制御を伴う実半代数的ケースに一般化すること。

提案手法

• 定義多項式の次数に基づく解析を用いて、閉半代数的集合上における半代数的集合の分離および半代数的写像の局所 Łojasiewicz 指数に対する有効な上界を導出する。
• Jelonek の複素結果に類似した、半代数的分離および半代数的写像の無限遠における大域的 Łojasiewicz 指数に対する有効な下界を確立する。
• 一般の線形射影 $ L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k $（$ k = \dim X $）を用いて、過剰定義された写像 $ F: X \to \mathbb{R}^m $ を最小次元の写像 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $ に簡約する。
• Zariski の開性および一般の線形写像の稠密性を活用し、$ F $ と $ L \circ F $ の零点集合および漸近的挙動が局所的および無限遠で一致することを保証する。
• 半代数的集合上の写像の正規性および一般の線形射影の性質を含む半代数的幾何の結果を応用し、$ F $ と $ L \circ F $ の Łojasiewicz 指数を関連付ける。
• 零点集合への距離および写像のノルムに関する不等式を用いて、$ |F(x)| $ と $ |L(F(x))| $ を比較し、比較定数を介して Łojasiewicz 指数の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの半代数的集合の分離、または閉半代数的集合上での半代数的写像の局所 Łojasiewicz 指数に対して、有効な上界をどのように与えることができるか？
• RQ2 半代数的集合の分離、または半代数的写像の無限遠における Łojasiewicz 指数に対して、有効な下界をどのように確立できるか？
• RQ3 過剰定義された半代数的写像 $ F: X \to \mathbb{R}^m $ の Łojasiewicz 指数は、一般の線形写像 $ L $ を用いた合成写像 $ L \circ F: X \to \mathbb{R}^k $ のそれとどのように関係するか？
• RQ4 半代数的写像の無限遠における Łojasiewicz 指数を、定義多項式の次数の観点から下から有効に抑えられるか。これは、複素の場合の結果を実ケースに一般化するものである。

主な発見

• 定義多項式の次数を用いて、半代数的集合の分離および閉半代数的集合上での半代数的写像の局所 Łojasiewicz 指数に対する有効な上界が確立された。
• Jelonek の複素結果に類似したが、実半代数的設定における半代数的集合の分離における大域的 Łojasiewicz 指数に対する有効な下界が導出された。
• 半代数的写像 $ F: X \to \mathbb{R}^m $ の無限遠における Łojasiewicz 指数は、$ F $ および $ X $ を定義する多項式の次数を用いて下から抑えられ、Cygan や Jelonek の複素推定値を実ケースに一般化した。
• 過剰定義された半代数的写像 $ F: X \to \mathbb{R}^m $（$ m > \dim X $）について、$ F $ の局所的および大域的 Łojasiewicz 指数は、一般の線形写像 $ L: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k $（$ k = \dim X $）を用いた合成写像 $ L \circ F $ のそれらと等しい。
• 写像 $ F^{-1}(0) $ がコンパクトである限り、$ F $ の無限遠における Łojasiewicz 指数は一般の線形射影 $ L $ によって保存され、次数依存の式によって下から抑えられる。
• 半代数的幾何における一般性および正規性の議論を用いて、零点集合およびノルムの比較により、$ F $ と $ L \circ F $ の Łojasiewicz 指数の等価性が証明された。