[論文レビュー] Metric Spaces with Linear Extensions Preserving Lipschitz Condition

Alexander Brudnyi, Yu. A. Brudnyi|ArXiv.org|Apr 17, 2004

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、距離空間 M の部分集合から M へのリーマン的関数の線形拡張における最悪の歪みを測る新しい双リプシッツ不変量 λ(M) を導入する。本稿は、メトリックツリー、多項式成長を示す群、グロモフ・ハイパーボリック群、および有界幾何構造を持つ特定のリーマン多様体を含む主要クラスについて λ(M) が有限であることを証明する一方で、有界幾何構造を持つ2次元リーマン多様体について λ(M) = ∞ である反例を構成する。

ABSTRACT

We study a new bi-Lipschitz invariant λ(M) of a metric space M; its finiteness means that Lipschitz functions on an arbitrary subset of M can be linearly extended to functions on M whose Lipschitz constants are enlarged by a factor controlled by λ(M). We prove that λ(M) is finite for several important classes of metric spaces. These include metric trees of arbitrary cardinality, groups of polynomial growth, Gromov-hyperbolic groups, certain classes of Riemannian manifolds of bounded geometry and finite direct sums of arbitrary combinations of these objects. On the other hand we construct an example of a two-dimensional Riemannian manifold M of bounded geometry for which λ(M)=\infty.

研究の動機と目的

• 距離空間 M の部分集合から M へのリプシッツ関数の線形拡張における歪みを定量化する新しい双リプシッツ不変量 λ(M) を定義・分析すること。
• λ(M) が有限であるような距離空間のクラスを特定し、一様に有界な線形拡張作用素の存在を示すこと。
• 特にメトリックツリー、カルノー群、およびそれらの直和のような空間について、λ(M) の鋭いまたは漸近的上限を確立すること。
• 有界幾何構造を持つ2次元リーマン多様体 Σ について、そのような線形拡張作用素が存在しない（λ(M) = ∞）反例を構成すること。

提案手法

• λ(M) を、すべての部分集合 S ⊂ M について、Lip(S) から Lip(M) への線形拡張作用素の作用素ノルムの下界の上限として定義する。
• 基点で消失するリプシッツ関数と、評価汎関数から構成されたバナッハ空間の双対性を用いる。
• 固定された点で消失する1-リプシッツ関数の空間を、リプシッツ関数の単位球体 B における l∞(B) への等長埋め込みによって表現する。
• この埋め込み下での M の像の線形包としてバナッハ空間 V を構成し、その双対空間 V* を基点で消失する1-リプシッツ関数の空間と同定する。
• ハーン＝バナッハの定理とゲルファンド変換を用いて、V 上の汎関数を表現し、正則ボレル測度を用いて作用素ノルムを制御する。
• 振動推定と評価汎関数の有限な凸結合による近似を用いて、拡張のリプシッツノルムを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの距離空間 M に対して線形拡張定数 λ(M) が有限であるか。
• RQ2 特にメトリックツリー、カルノー群、またはそれらの直和のような特定クラスについて、λ(M) の鋭いまたは漸近的上限は何か。
• RQ3 幾何的性質の観点から、有界ノルムを持つ線形拡張作用素の存在を特徴づけることは可能か。
• RQ4 有界幾何構造を持つ距離空間で、そのような線形拡張作用素が存在しない（つまり λ(M) = ∞）ものは存在するか。
• RQ5 λ(M) の有限性は、局所ダブリング性や M の他の幾何的不変量とどのように関係するか。

主な発見

• 任意の濃度のメトリックツリーについて λ(M) は有限であり、λ(⊕_{i=1}^n T_i) は絶対定数 C₁, C₂ > 0 を用いて C₁√n から C₂n の間で有界である。
• Z^n については、0 < c < 1 を満たすある c に対して c√n ≤ λ(Z^n) ≤ 24n が成り立ち、Z^n は語の距離を備える。
• 同様に、同次次元 n の任意のカルノー群 G についても λ(G) ≤ 24n が成り立つ。
• 多項式成長を示す群およびグロモフ・ハイパーボリック群について、λ(M) は有限である。
• 局所ダブリングである有界幾何構造を持つリーマン多様体 M について、λ(M) は有限であり、それらの有限直和についても同様に成り立つ。
• 有界幾何構造を持つ2次元リーマン多様体 Σ が存在し、ある部分空間 S に対して Ext(S,Σ) = ∅ が成り立つ。これは λ(Σ) = ∞ を意味する。