[論文レビュー] Metric subregularity of the convex subdifferential in Banach spaces

Francisco J. Aragón Artacho, Michel Geoffroy|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 21被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、ヒルバート空間からバナッハ空間への凸部分微分の度付き準正則性および強度付き準正則性の特徴付けを拡張し、局所的二次的成長条件と同値であることを示している。さらに、凸性を仮定しないアスプルンド空間における極限部分微分に対しても、少なくとも1つの含意が成り立つことが示され、プロキシマル点算法およびパrametric一般化方程式の解写像への影響が導かれる。

ABSTRACT

In [2] we characterized in terms of a quadratic growth condition various metric regularity properties of the subdifferential of a lower semicontinuous convex function acting in a Hilbert space. Motivated by some recent results in [16] where the authors extend to Banach spaces the characterization of the strong regularity, we extend as well the characterizations for the metric subregularity and the strong subregularity given in [2] to Banach spaces. We also notice that at least one implication in these characterizations remains valid for the limiting subdifferential without assuming convexity of the function in Asplund spaces. Additionally, we show some direct implications of the characterizations for the convergence of the proximal point algorithm, and we provide some characterizations of the metric subregularity and calmness properties of solution maps to parametric generalized equations.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間から一般のバナッハ空間への凸部分微分の度付き準正則性および強度付き準正則性の特徴付けを拡張すること。
• これらの性質がバナッハ空間における関数の局所的二次的成長条件と同値であることを確立すること。
• 凸性を仮定しないアスプルンド空間における極限部分微分に対し、同様の特徴付けが成り立つかを調査すること。
• 部分微分の準正則性特性に基づいて、プロキシマル点算法の収束挙動に及ぼす影響を導出すること。
• 共役成長条件を用いて、パラメトリック一般化方程式の解写像の度付き準正則性および落ち着きを特徴付けること。

提案手法

• 部分微分の性質を共役関数上の成長条件に変換するために、フェンケル共役を用いる。
• 特に、部分微分とその逆写像の共役双対性を介して、写像の度付き準正則性とその逆写像の正則性の等価性を適用する。
• 存在する $ c > 0 $ に対して、$ \bar{x} $ の近傍で $ f(x) \neq f(\bar{x}) + \langle y^*, x - \bar{x} \rangle + c\|x - \bar{x}\|^2 $ が成り立つという二次的成長条件を、準正則性の特徴付けに用いる。
• モルデフチとニャイア（2016）のアスプルンド空間における極限部分微分に関する結果を応用し、凸関数を超えた拡張を実現する。
• パラメトリック一般化方程式の解析にあたり、$ \nabla_x f(\bar{x}, \bar{y}) $ の全射性と $ f $ のリプシッツ連続性を用いる。
• 例えば $ f^*(y^*) \geq f^*(\bar{y}^*) + \langle \bar{x}, y^* - \bar{y}^* \rangle + c d^2(y^*, \partial f(\bar{x})) $ などの共役成長条件を導出し、落ち着きおよび準正則性の特徴付けとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸部分微分の度付き準正則性と局所的二次的成長条件の同値性は、ヒルバート空間に限らずバナッハ空間においても成り立つか？
• RQ2 凸関数を超えたアスプルンド空間において、二次的成長による強度付き準正則性および度付き準正則性の特徴付けを拡張できるか？
• RQ3 これらの特徴付けは、プロキシマル点算法の収束速度にどのような影響を及えるか？
• RQ4 パラメトリック一般化方程式の解写像の落ち着きおよび分離的落ち着き特性は、共役成長条件とどのように関係するか？
• RQ5 パラメトリック一般化方程式の解写像が、元の関数の成長挙動から度付き準正則性または強度付き準正則性をどのように引き継ぐかの条件は何か？

主な発見

• 点 $ \bar{x} $ における凸部分微分 $ \partial f $ の度付き準正則性（$ \bar{y}^* $ に対して）は、$ \bar{y}^* $ の近傍 $ V $ と正の定数 $ c > 0 $ が存在し、すべての $ y^* \in V $ に対して $ f^*(y^*) \geq f^*(\bar{y}^*) + \langle \bar{x}, y^* - \bar{y}^* \rangle + c d^2(y^*, \partial f(\bar{x})) $ が成り立つことと同値である。
• 点 $ \bar{x} $ における凸部分微分 $ \partial f $ の強度付き準正則性（$ \bar{y}^* $ に対して）は、$ \bar{y}^* $ の近傍 $ V $ と正の定数 $ c > 0 $ が存在し、すべての $ y^* \in V $ に対して $ f^*(y^*) \geq f^*(\bar{y}^*) + \langle \bar{x}, y^* - \bar{y}^* \rangle + c \|y^* - \bar{y}^*\|^2 $ が成り立つことと同値である。
• 部分微分 $ \partial f $ が点 $ \bar{x} $ で $ \bar{y}^* $ に対して定数 $ \kappa $ を用いて落ち着いているならば、すべての $ c < 1/(4\kappa) $ に対して共役成長条件（4.5）が成り立つ。逆に、（4.5）が定数 $ c $ に対して成り立つならば、$ \partial f $ は定数 $ 1/c $ を用いて落ち着いている。
• 部分微分 $ \partial f $ が点 $ \bar{x} $ で $ \bar{y}^* $ に対して分離的落ち着き特性（isolated calmness property）を定数 $ \kappa $ で持つならば、すべての $ c < 1/(4\kappa) $ に対して共役成長条件（4.6）が成り立つ。逆に、（4.6）が定数 $ c $ に対して成り立つならば、$ \partial f $ は定数 $ 1/c $ を用いて分離的落ち着き特性を持つ。
• 解写像 $ S(x) = \{ y \mid 0 \in f(x,y) + \partial \varphi(y) \} $ に対して、点 $ (\bar{x}, \bar{y}) $ で度付き準正則性が成り立つのは、共役成長条件（4.5）が満たされるときかつそのときに限る。
• 二次的成長条件（3.1）が定数 $ c > 0 $ に対して成り立ち、$ f $ の $ y $ に関するリプシッツモジュラスが $ c $ より小さいならば、解写像 $ S $ は点 $ \bar{x} $ で $ \bar{y} $ に対して分離的落ち着き特性を持つ。