[論文レビュー] Metrical properties for the weighted products of multiple partial quotients in continued fractions

Ayreena Bakhtawar, Mumtaz Hussain+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2022

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連分数展開における複数の連続する商の重み付き積で定義される集合の計量的性質を調査する。熱力学的形式主義と質量分布技法を用いて、このような集合のハウスドルフ次元を確立し、各商に個別の重みを組み込むことで古典的結果を一般化し、反復関数系を用いて重み関数の成長条件が変化する場合の次元について鋭い推定値を提供する。

ABSTRACT

The classical Khintchine and Jarník theorems, generalizations of a consequence of Dirichlet's theorem, are fundamental results in the theory of Diophantine approximation. These theorems are concerned with the size of the set of real numbers for which the partial quotients in their continued fraction expansions grows with a certain rate. Recently it was observed that the growth of product of pairs of consecutive partial quotients in the continued fraction expansion of a real number is associated with improvements to Dirichlet's theorem. In this paper we consider the products of several consecutive partial quotients raised to different powers. Namely, we find the Lebesgue measure and the Hausdorff dimension of the following set: $$ {\D_{\mathbf t}}(ψ):=\left\{x\in[0, 1): \prod\limits_{i=0}^{m-1}{a^{t_i}_{n+i}(x)} \ge Ψ(n)\ { ext{for infinitely many}} \ n\in \N ight\}, $$ where $t_i\in\mathbb R_+$ for all ${0\leq i\leq m-1}$, and $Ψ:\N o\R_{\ge 1}$ is a positive function.

研究の動機と目的

• 連分数における複数の連続する商の重み付き積を研究することで、計量的ディオファントス近似における古典的結果を一般化すること。
• 積 $\mathcal{E}_{\mathbf{t}}(\psi)$ のLebesgue測度およびハウスドルフ次元を決定すること。ここで、$m$ 個の連続する商の積を個々の指数 $t_i$ で冪乗したものが、無限回にわたって与えられた関数 $\Psi(n)$ を超える。
• 集合 $\mathcal{E}(\Psi)$ の次元に関するWang-Wu定理の枠組みを、商の重み付きで多項式的な積へと拡張すること。
• 一般の $m$-ケースにおけるハウスドルフ次元の上界と下界の不一致を解消し、次元に顕著に寄与する部分商を特定すること。

提案手法

• 著者らは、$t_i > 0$ および $\Psi: \mathbb{N} \to \mathbb{R}_{\geq 1}$ を満たすとき、$x \in [0,1)$ に対して $\prod_{i=0}^{m-1} a_{n+i}(x)^{t_i} \geq \Psi(n)$ が無限回成り立つような $x$ の集合として $\mathcal{E}_{\mathbf{t}}(\Psi)$ を定義する。
• 連分数の力学をモデル化するため、区間 $[0,1)$ 上のガウス写像 $T$ を用い、特に圧力関数 $P(T, \phi)$ を用いた熱力学的形式主義を適用して集合の次元を分析する。
• 固定された部分商を持つ区間の系列において、部分商の成長率と重み $t_i$ に応じて測度を割り当てることで、$\mathcal{E}_{\mathbf{t}}(\Psi)$ のカントール型部分集合上に質量分布 $\mu$ を構成する。このとき、区間間の一貫性を保証する。
• 質量分布の原理を用いて次元を推定し、$\alpha_0 = \widetilde{A}^{1/t_0}$ および $\alpha_1 = (\widetilde{B}/\widetilde{A})^{1/t_1}$ によって定義される関数を用いて、区間の測度を再帰的に定義する。圧力条件を適用して臨界指数を導出する。
• 各重みが次元に与える有効な寄与をモデル化するため、反復関数 $f_{t_0,\dots,t_{\ell}}(s)$ を導入し、非寄与項を補正するため、分母に以前の重みの最大値を組み込む。
• 上界は圧力条件 $P(T, -s\log|T'| - f_{\mathbf{t}}(s)\log B) \leq 0$ から得られ、下界は、隙間と分母の成長率を重み付きケースに適合させた、limsup集合上に注意深く構成された測度を用いて確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連分数展開において、$m$ 個の連続する商の重み付き積が無限回にわたって与えられた関数 $\Psi(n)$ を超えるような、$[0,1)$ 内の実数の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 連続する商に割り当てられた個々の重み $t_i$ は、このような集合の測度的性質および次元的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ3 熱力学的形式主義を用いて、古典的集合 $\mathcal{E}(\Psi)$ の次元公式を、複数の部分商の重み付き積へ一般化できるか？
• RQ4 $\Psi(n)$ の成長率と得られる次元との関係は何か。特に $\Psi(n)$ が指数関数的または超指数関数的に成長する場合に注目する。
• RQ5 積 $\prod_{i=0}^{m-1} a_{n+i}^{t_i}$ の中で、次元に顕著に寄与するのはどの部分商か。また、相対的な重みによって無視できる部分商はどれか？

主な発見

• ハウスドルフ次元は、$f_{\mathbf{t}}(s)$ が重み $t_i$ を組み込んだ反復的に定義された関数であるとき、上界として $\inf\{s \geq 0 : P(T, -s\log|T'| - f_{\mathbf{t}}(s)\log B) \leq 0\}$ で与えられる。
• 下界については、$\dim_H \mathcal{E}_{\mathbf{t}}(\Psi) \geq \inf\{s \geq 0 : P(T, -s\log|T'| - f_{t_0,t_1}(s)\log B) \leq 0\}$ が確立され、これは最悪状況下で最初の2つの重みが次元を支配することを示唆する。
• $1 < B < \infty$ のとき、次元は $1/2$ より厳密に大きい。これは、$B < \infty$ のとき $\dim_H \mathcal{E}(\Psi) > 1/2$ である古典的結果を一般化するが、今や重み $t_i$ に依存する精密な依存関係を持つ。
• 次元公式は、$f_{t_0,\dots,t_{m-1}}(s)$ に依存し、これは再帰的に定義され、以前の重みの最大値を組み込む。これは、最終的な次元に影響を与えるのは最も顕著な重みのみであることを示唆する。
• 本稿は、すべての $m \geq 2$ に対して上界と下界が一致すると予想しており、その結果、次元公式は $\dim_H \mathcal{E}_{\mathbf{t}}(\Psi) = \inf\{s \geq 0 : P(T, -s\log|T'| - f_{\mathbf{t}}(s)\log B) \leq 0\}$ となるとされるが、$m > 2$ の場合の証明は未解決のままである。
• 解析により、積に含まれるすべての部分商が次元に等しく寄与するわけではないことが判明。$t_i$ の値が小さい部分商は、再帰的関数の分母に現れる最大値の項のおかげで、漸近的に無視可能となる可能性がある。