[論文レビュー] (Metrically) quarter-stratifiable spaces and their applications in the theory of separately continuous functions

Тарас Банах|ArXiv.org|Oct 16, 2008

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、距離空間および階層的空間の一般化としての（距離的）4分の1層化可能空間を導入し、分離連続関数のバーレーおよびボレル複雑度に関する古典的定理を拡張する応用を行う。本稿は、距離的4分の1層化可能空間を含む積空間上での分離連続関数が第一または第二バーレークラスに属することを証明し、メトリクスの定義域を超えてルーディンおよびキュラトフスキー＝モンゴメリーの結果を一般化する。

ABSTRACT

We introduce and study (metrically) quarter-stratifiable spaces and then apply them to generalize Rudin and Kuratowski-Montgomery theorems about the Baire and Borel complexity of separately continuous functions.

研究の動機と目的

• メトリック空間からより広い空間のクラスへ、ルーディンの分離連続関数に関する定理を一般化すること。
• 強力な位相的性質を備えた一般化された距離空間の新クラスとして、（距離的）4分の1層化可能空間を定義し、その性質を研究すること。
• 4分の1層化可能空間と、階層的空間、σ-距離空間、Gδ対角空間などの他のクラスとの関係を調査すること。
• これらの空間に対する継承性および埋め込み定理（特に、閉埋め込みとしての距離的4分の1層化可能T₁空間への埋め込み）を確立すること。
• この枠組みを応用して、このような空間を含む積空間上での分離連続関数が低次のバーレークラスに属することを証明し、古典的結果を拡張すること。

提案手法

• すべての $ n $ に対して $ \bigcup_{x \in X} g(n,x) = X $ および $ x \in \overline{g(n,x)} $ を満たす関数 $ g: \mathbb{N} \times X \to \tau $ を導入し、4分の1層化可能空間を定義する。
• 開被覆 $ \{\mathcal{U}_n\} $、選択関数 $ s_n $、および下半連続な多価写像 $ \mathcal{F}_n $ を用いた4分の1層化可能性の特徴づけを行う。ここで $ \mathcal{F}_n(x) \to x $ が成り立つ。
• すべての部分メトリック空間で $ G_\delta $-対角を持つ空間は、距離的4分の1層化可能 $ T_1 $-空間の閉部分集合として埋め込める。
• $ C_p(X) $、つまり点別位相における実数値連続関数の空間を用いて、密度およびリンドレフ数がバーレークラスの性質とどのように関係するかを分析する。
• コルソンコンパクト空間に関する定理および可分コルソンコンパクト空間の距離化可能性を応用し、特定の関数空間が距離化可能であることを示し、バーレークラス分類に応用する。
• もし $ X $ が可分で $ Y $ が可算な数のサスリン数を持つならば、$ F(X) \subset CC(Y \times Z, \mathbb{R}) $ は距離化可能であり、これにより既知のバーレークラスに関する結果を適用可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルーディンの定理は、メトリック空間の定義域を超えて拡張可能か？
• RQ2 すべての分離連続関数 $ f: X \times Y \to \mathbb{R} $ が第一バーレークラスに属するような空間 $ X $ を特徴づける位相的性質は何か？
• RQ3 メトリック空間またはσ-距離空間よりも大きいクラスの空間の中で、分離連続関数が第一バーレークラスに属する性質を保つようなクラスは存在するか？
• RQ4 可算なサスリン数と非可算な重みを持つすべてのコンパクト空間は、必然的に非ルーディン的であり、関数の複雑度にどのような影響を与えるか？
• RQ5 もし $ X $ が可分で $ Y $ が可算なサスリン数を持つならば、$ X \times Y \times Z $ 上の分離連続関数のバーレークラスは有界であるか？

主な発見

• すべての（部分メトリック空間である）$ G_\delta $-対角を持つ空間は、（距離的）4分の1層化可能 $ T_1 $-空間の閉部分集合に位相的に同型である。
• すべての半層化可能空間は、部分的に4分の1層化可能であるが、逆は成り立たない。例えば、ゾルゲンフライの矢印は、部分的に4分の1層化可能であるが、半層化可能ではない。
• 空間 $ X $ が4分の1層化可能であることと、開被覆 $ \{\mathcal{U}_n\} $、選択関数 $ s_n $、および下半連続な多価写像 $ \mathcal{F}_n $ が存在して $ \mathcal{F}_n(x) \to x $ となることとは同値である。
• もし $ X $ が非可算なサスリン数を持つコンパクト空間ならば、$ f: X \times Y \to \mathbb{R} $ が第一バーレークラスでない分離連続関数が存在する。
• もし $ X $ が可分で $ Y $ が可算なサスリン数を持つならば、すべての分離連続関数 $ f: X \times Y \times Z \to \mathbb{R} $ は第二バーレークラスに属する。
• ルーディン空間のクラスは、レーベーグ空間のクラスを含み、非メトリックなコンパクトなルーディン空間が存在するが、すべての可分コルソンコンパクト空間は距離化可能である。