[論文レビュー] Metrics of constant positive curvature with conic singularities. A survey

Alexandre Erëmenko|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本調査は、有限個の角尖点をもつコンパクトなリーマン面に対して、曲率が1の定曲率をもつコンフォーマル計量の分類と存在性を、発展写像とモノドロミーを用いて調べるものであり、特に、角度が (1/2,1/2,1/2,3/2) の4つの尖点をもつ球面に対して、各トーラスパラメータ τ に対して、その計量は高々1つであることを示している。この条件は、周期比 τ に関する明示的な不等式によって定まる。

ABSTRACT

We consider conformal metrics of constant curvature 1 on a Riemann surface, with finitely many prescribed conic singularities and prescribed angles at these singularities. Especially interesting case which was studied by C. L. Chai, C. S Lin and C. L. Wang is described in some detail, with simplified proofs.

研究の動機と目的

• 指定された角尖点と角度をもつコンパクトなリーマン面における、曲率が1のコンフォーマル計量の分類と存在性の理解を目的とする。
• 非正曲率の場合に十分に理解されているのとは対照的に、球面幾何における非一意性の問題を扱う。
• 柴、林、王らが研究した、球面上の4つの角尖点をもつ場合の解析を簡略化した証明と詳細な分析を提供すること。
• 線形微分方程式のモノドロミーとトーラス二重被覆の幾何学を用いて、このような計量の存在に関する基準を確立すること。

提案手法

• 特異点近傍で f(z) ~ c(z−a_j)^{α_j} と局所的に振る舞う多価正則関数としての発展写像 f: S\A → Ĉ（リーマン球面）を用い、PSU(2) のモノドロミーを持つ。
• ρ(z) = 2|f′(z)| / (1 + |f(z)|²) により計量を再構成し、メビウス変換による後結合による同値性を定義する。
• 存在問題を、トーラス二重被覆上でのラメ方程式の射影的モノドロミーのユニタリ化可能性に還元する。
• ヴァイエルシュトラスの楕円関数を用いて、ラメ方程式 w′′ − (2℘(z) + λ)w = 0 及びそのモノドロミーを用いた付加パラメータ問題を分析する。
• σ 関数と ζ 関数を用いたエルミートの解法公式を適用し、ω_jζ(a) − η_ja が純虚数であるという条件を導出する。
• τ 平面（モジュラーパラメータ）における、このような計量の存在領域を特徴付ける明示的な不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたコンパクトなリーマン面と指定された角尖点と角度に対して、曲率が1の計量の同値類はいくつ存在するか？
• RQ2 尖点の位置と角度にどのような条件を課すと、球面上にこのような計量が存在するか？
• RQ3 関連する線形微分方程式のモノドロミーは、計量の存在性と一意性をどのように決定するか？
• RQ4 角度が (1/2,1/2,1/2,3/2) の4つの尖点を持つ場合、計量はいくつ存在し、これはトーラスパラメータ τ にどのように依存するか？
• RQ5 ユニタリズ可能なモノドロミーを持つ解が存在する τ 平面内の領域の幾何学的・解析的特徴づけは何か？

主な発見

• 角度が (1/2,1/2,1/2,3/2) の4つの尖点をもつ球面に対して、各トーラスパラメータ τ に対して、曲率が1の計量の同値類は高々1つである。
• このような計量の存在は、ラメ方程式の射影的モノドロミーがユニタリであることに同値であり、これは、ω_jζ(a) − η_ja を含む2つの複素方程式が純虚数であるときに限り成立する。
• このような計量が存在する領域は、τ 平面において、j = 1,2,3 に対して不等式 Im( (πi)/(e_j ω_1² + η_1 ω_1) − 2τ ) < 0 を満たす領域として特徴づけられる。
• 付加パラメータ λ = ℘(a) は、線形方程式 Aa + Bā + ζ(a) = 0 の解 a によって一意に定まる。この方程式は解を0個または2個（±a）もつ。
• 自明な解 a = ω_j（j=1,2,3）は線形独立な解を生じないため、有効な計量を定義するために除外される。
• 球面上の計量は2重被覆を通じてトーラス上に偶関数計量として引き上げられ、一意な偶関数解が望ましい球面計量に対応する。