[論文レビュー] Metrics of positive Ricci curvature on quotient spaces

Lorenz Schwachhoefer, Wilderich Tuschmann|ArXiv.org|Mar 7, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoな同次空間および共型度1多様体の自由等長群作用による商をとることで、正のリッチ曲率およびほぼ非負の断面曲率を持つ不変リーマン計量をもつ、閉多様体の新しいクラスを確立する。主な結果は、このような商多様体が正のリッチ曲率をもつための必要十分条件が、その基本群が有限であることである。これにより、強い曲率的および位相的制約を満たす多様体の新しい例が得られる。

ABSTRACT

We show that any closed biquotient with finite fundamental group admits metrics of positive Ricci curvature. Also, let M be a closed manifold on which a compact Lie group G acts with cohomogeneity one, and let L be a closed subgroup of G which acts freely on M. We show that the quotient N := M/L carries metrics of nonnegative Ricci and almost nonnegative sectional curvature. Moreover, if N has finite fundamental group, then N admits also metrics of positive Ricci curvature. Particular examples include infinite families of simply connected manifolds with the rational cohomology rings and integral homology of complex and quaternionic projective spaces.

研究の動機と目的

• 正のリッチ曲率をもつリーマン計量をもつ閉多様体の新しいクラスを同定すること。
• 正または非負のリッチ曲率をもつ多様体に対する自由等長群作用による商空間の曲率挙動を調査すること。
• このような商多様体が正のリッチ曲率を継承するための位相的および幾何的条件（特に基本群の有限性）を特定すること。
• 既知の正のリッチ曲率およびほぼ非負の断面曲率をもつ計量の結果を、バイクォオビエンツおよびブリースコルン多様体の商を含む新しい多様体族へと拡張すること。
• 複素射影空間およびクaternion的射影空間の有理コホモロジー環と同型である、単連結多様体の明示的例を構成すること。

提案手法

• コンパクトな同次空間または共型度1多様体 M と、M に自由に等長作用する群 L に対する商多様体 M/L のリッチ曲率を分析すること。
• Brieskorn多様体の S1 および Sp(1) による商の整数コホモロジー環を計算するために、Gysin系列を適用すること。
• 群作用の正規化の利用により不変計量を構成し、曲率性質を制御すること。
• 既知の共型度1多様体およびバイクォオビエンツに関する結果を活用し、正のリッチ曲率およびほぼ非負の断面曲率をもつ計量の存在を確立すること。
• Brieskorn多様体の自由な円および3次元球面作用による商を用いた、CP^{2m-1} および HP^{2m-1} と同型なコホモロジー環をもつ多様体の明示的族の構成。
• 商多様体における S1×SU(m) および S1×Sp(m) の共型度2作用を検証し、それら作用の下での等長不変性を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな同次空間または共型度1多様体の自由等長作用による商が、正のリッチ曲率計量をもつための条件は何か？
• RQ2 正のリッチ曲率計量とほぼ非負の断面曲率計量が、商多様体で同時に存在可能か。また、そのような存在に位相的障害は存在するか？
• RQ3 基本群が有限であるコンパクトなリー群のバイクォオビエンツは、正のリッチ曲率およびほぼ非負の断面曲率をもつ計量をもつか？
• RQ4 自由な S1 および Sp(1) 行動によるBrieskorn多様体の商のコホモロジー構造は何か。また、CP^{2m-1} および HP^{2m-1} と同様の空間とどのように関係するか？
• RQ5 CP^n および HP^n の有理コホモロジー環と同型である、正のリッチ曲率およびほぼ非負の断面曲率をもつ単連結多様体の新しい例は存在するか？

主な発見

• コンパクトな同次空間または共型度1多様体の自由等長作用による商多様体が正のリッチ曲率計量をもつための必要十分条件は、その基本群が有限であることである。
• 基本群が有限であるコンパクトリー群 G のすべてのバイクォオビエンツ G//H は、不変計量をもち、正のリッチ曲率およびほぼ非負の断面曲率をもつ。
• Brieskorn多様体の自由な S1 および Sp(1) 行動による商は、それぞれ CP^{2m-1} および HP^{2m-1} と同型な有理コホモロジー環をもち、正のリッチ曲率およびほぼ非負の断面曲率をもつ単連結多様体をもたらす。
• d ≥3 に対して、多様体 N^{4m-2}_d および ˜N^{8m-4}_d はいかなるバイクォオビエンツとも微分同相ではなく、共型度が2未満のリー群作用ももたない。
• 商多様体 N^{4m-2}_d および ˜N^{8m-4}_d は、構成された計量の下で、Riemann的ファイバー束 S^2 → N^{8m-2}_d → ˜N^{8m-4}_d をもつ。
• m=1 のとき、商 ˜N^4_d は S^4 に微分同相であり、それに対応する S^3-バンドルはそのオイラー類 d によって分類され、すべての非自明なバンドルがBrieskorn多様体の商として実現可能である。