[論文レビュー] Metrics with cone singularities along normal crossing divisors and holomorphic tensor fields

F. Campana, Henri Guenancia+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2011

Geometry and complex manifolds被引用数 90

ひとこと要約

本稿では、コンpactなケーラー多様体上の単純な正規交叉除法 $D$ に沿ったコーン特異点をもつケーラー・アインシュタイン計量の存在を、コーン角に関する技術的条件のもとで確立する。モンジュ＝アンペール方程式と曲率推定を用いて、リヒネロヴィッツおよび小林のホロモルフィックテンソル場に関する古典的結果を特異な設定に拡張し、$K_X + D$ の符号に応じてその消滅または平行化を示す。主な貢献は、このような計量の構成およびその log-スムーズ klt 対におけるテンソル場理論への応用である。

ABSTRACT

We prove the existence of non-positively curved K\\"ahler-Einstein metrics with cone singularities along a given simple normal crossing divisor on a compact K\\"ahler manifold, under a technical condition on the cone angles, and we also discuss the case of positively-curved K\\"ahler-Einstein metrics with cone singularities. As an application we extend to this setting classical results of Lichnerowicz and Kobayashi on the parallelism and vanishing of appropriate holomorphic tensor fields.

研究の動機と目的

• コンパクトケーラー多様体上に単純な正規交差除法に沿ったコーン特異点をもつケーラー・アインシュタイン計量を構成すること。
• 特に $K_X + D$ が正または負である場合に、そのような計量が存在するための条件を確立すること。
• ホロモルフィックテンソル場に関する古典的結果（特にその消滅および平行化）を、滑らかでない設定、すなわち log-スムーズ klt 対への拡張すること。
• 除法付近での計量の漸近的挙動を分析し、特異な文脈における曲率推定を証明すること。
• 有界性をコーン計量に関して用いることで、ホロモルフィックテンソル場の理論を幾何的オビルドに対して一般化すること。

提案手法

• 除法 $D$ に沿った所定の特異性をもつ体積形式 $\mu_D$ をもつ形の複素モンジュ＝アンペール方程式 $(\omega + dd^c\varphi)^n = e^{f + \lambda\varphi} \mu_D$ を $\lambda = 0$ または $1$ に対して解くこと。
• $\mu_D$ の $L^p$-可積分性の理論を用い、コロジェイの定理を適用して $\lambda = 0$ の場合に連続解 $\varphi$ を得ることで、$X_0 = X \setminus \mathrm{Supp}(D)$ 上での計量 $\omega_\infty = \omega + dd^c\varphi$ の存在を保証すること。
• 除法から離れた領域における解 $\varphi$ の正則性を示すために、$\mathscr{C}^{0}$、ラプラシアン、および $\mathscr{C}^{2,\alpha}$ 推定を確立すること。
• 特異計量に適応された切断手続きとボッハナー公式の技法を用いて、ホロモルフィックテンソル場を分析すること。
• 正規交差除法に適合した座標系を用いて曲率成分を計算し、計量のラプラシアンを推定すること。
• 最大原理および曲率比較技法を用いて、特異な文脈におけるリッチ曲率の下界を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純な正規交差除法をもつコンパクトケーラー多様体が、除法に沿ったコーン特異点をもつケーラー・アインシュタイン計量をもつための条件は何か？
• RQ2 コーン計量をもつ log-スムーズ klt 対 $(X,D)$ において、ホロモルフィックテンソル場の性質（例えば消滅や平行化）はどのように振る舞うか？
• RQ3 コーン角 $2\pi\tau_j$ が、このような計量の存在および曲率性質を決定づける役割を果たす正確な役割は何か？
• RQ4 ホロモルフィックテンソル場に関する古典的リヒネロヴィッツおよび小林の定理は、コーン特異点をもつ特異計量の状況に拡張可能か？
• RQ5 正規交差除法に沿って特異な体積形式をもつモンジュ＝アンペール方程式の解の正則性および漸近的挙動は何か？

主な発見

• コーン角に関する技術的条件のもとで、単純な正規交差除法に沿ったコーン特異点をもつケーラー・アインシュタイン計量の存在が確立され、特に $K_X + D$ が豊富または反豊富である場合に成立する。
• $\lambda = 0$ の場合、コロジェイの $L^p$-可積分性結果により、モンジュ＝アンペール方程式は一意な連続解 $\varphi_\infty$ をもつ。これにより、$X_0 = X \setminus \mathrm{Supp}(D)$ 上で定義された明確な計量 $\omega_\infty$ が得られる。
• 解 $\varphi_\infty$ は $X_0$ 上で滑らかであり、計量 $\omega_\infty$ は正則部分上での所定のリッチ曲率をもつケーラー・アインシュタイン計量である。
• 特異計量に適応されたボッハナー公式および切断手続きにより、$K_X + D$ の符号に応じてホロモルフィックテンソル場の消滅または平行化が示され、古典的結果が一般化される。
• 計量 $\omega_\infty$ の曲率は、電流の意味で下から有界であり、除法付近の特異座標系においてラプラシアン推定が確立される。
• 理論は幾何的オビルドへ拡張され、ホロモルフィックテンソル場はコーン計量に関して有界であるものとして定義され、その挙動は付随バンドル $K_X + D$ によって制御される。