[論文レビュー] Metriplectic particle-in-cell integrators for the Landau collision operator

Eero Hirvijoki, M. Kraus+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Gas Dynamics and Kinetic Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、マクロ粒子重みの有限次元メトリプレクティック系として、ランドー散乱作用素のための構造保存型粒子法（PIC）積分法を提案する。この手法は、保存則とエントロピー生成を保証する。密度、運動量、エネルギーの代数的保存に加え、非負定のエントロピー生成を実現し、既存のVlasov-Maxwell-Poisson積分法と完全に互換性を持つ。

ABSTRACT

In this paper, we present a new framework for addressing the nonlinear Landau collision operator in terms of particle-in-cell methods. We employ the underlying metriplectic structure of the collision operator and, using a macro particle discretization for the distribution function, we transform the infinite-dimensional system into a finite-dimensional time-continuous metriplectic system for advancing the macro particle weights. Temporal discretization is accomplished using the concept of discrete gradients. The conservation of density, momentum, and energy, as well as the positive semi-definite production of entropy in both the time-continuous and the fully discrete system is demonstrated algebraically. The new algorithm is fully compatible with the existing particle-in-cell Poisson integrators for the Vlasov-Maxwell system.

研究の動機と目的

• 粒子法におけるランドー作用素のための構造保存型散乱アルゴリズムの欠如に対処すること。
• 可変粒子重みを用いるモンテカルロ散乱法における保存則の破綻を解消すること。
• マクロ粒子重みの時間連続的かつ有限次元的なメトリプレクティック系を、ランドー散乱作用素に従って構築すること。
• 連続的および離散的時間において、密度、運動量、エネルギーの代数的保存および非負定のエントロピー生成を保証すること。
• 既存の構造保存型Vlasov-Maxwell粒子法積分法と完全に互換性を持つこと。

提案手法

• ランドー散乱作用素のメトリプレクティック構造を用いて、マクロ粒子重みのための有限次元的時間連続系を導出すること。
• 空間および速度空間の形状関数を用いたマクロ粒子による分布関数の離散化により、連続的および離散的形態間の機能的微分の同等性を実現すること。
• 時間離散化に離散勾配を用いることで、完全離散系におけるメトリプレクティック構造を保存すること。
• 連続的機能的微分から粒子重み微分への正確な写像を実現するため、擬似逆演算子を用いて離散的機能的微分を導出すること。
• 有限次元的エントロピーが離散ポアソン括弧のカシミール不変量のまま保たれることを保証し、離散的状況下でもHの定理が成立することを確保すること。
• Vlasov-Maxwell系のPoisson積分法と共有されるメトリプレクティック構造を通じて、衝突系を既存の積分法と滑らかに統合すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランドー散乱作用素のための構造保存型粒子法積分法を構築可能か。その際、密度、運動量、エネルギーを保存可能か。
• RQ2 ランドー作用素のメトリプレクティック構造を、マクロ粒子重みの有限次元系にどのように離散化できるか。
• RQ3 離散勾配を用いることで、時間離散化系におけるメトリプレクティック構造を保存可能か。その結果、エントロピー生成が非負となるか。
• RQ4 離散系における有限次元的エントロピーが依然としてカシミール不変量であるか。その結果、離散的Hの定理が成立するか。
• RQ5 得られた衝突積分法は、既存の構造保存型Vlasov-Maxwell粒子法積分法と完全に互換性を持つか。

主な発見

• 提案手法は、時間連続的および完全離散的両状態において、密度、運動量、エネルギーを代数的に保存することが保証された。
• エントロピー生成は連続的および離散的時間の両方において非負定であることが証明され、離散的Hの定理を満たす。
• 有限次元的エントロピー関数は、離散ポアソン括弧のカシミール不変量のまま保たれ、長期的な安定性および物理的整合性を確保する。
• 離散的機能的微分は擬似逆演算子を用いて導出され、連続的機能的微分から粒子重み微分への正確な写像が可能となった。
• 本手法は、既存の構造保存型Vlasov-Maxwell粒子法積分法と完全に互換性を持つため、プラズマダイナミクスの統一的構造保存型シミュレーションが可能となった。
• 本フレームワークは、三段階粒子法散乱アルゴリズムの数学的厳密な基盤を提供し、補間誤差および保存則違反の問題を解決した。