[論文レビュー] Metrisability of Manifolds

David Gauld|ArXiv.org|Oct 5, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 51被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、メトリシング可能な多様体の包括的特徴付けを提供し、完全メトリシング可能性、バーレカテゴリー、さまざまな被覆および分離公理などの、メトリシング可能性と同値となる多数の位相的性質を同定する。標準的な集合論的仮定のもとで、メトリシング可能性が、見かけ上弱い位相的性質の範囲と同値であることを確立する一方で、一部の同値性がマーティンの公理や連続体仮説のような公理に依存することも示している。

ABSTRACT

Manifolds have uses throughout and beyond Mathematics and it is not surprising that topologists have expended a huge effort in trying to understand them. In this article we are particularly interested in the question: `when is a manifold metrisable?' We describe many conditions equivalent to metrisability.

研究の動機と目的

• 多様体におけるメトリシング可能性と同値となる条件を同定し、体系化すること。
• マーティンの公理や連続体仮説のような集合論的公理が、メトリシング可能性を決定づける役割を果たす程度を明確にすること。
• 完全正規性や強い遺伝的分離的性質がメトリシング可能性を意味するかどうかという長年の疑問を解決すること。
• 分離的性質と正規性だけではメトリシング可能性を保証できないこと、反例を提示すること。
• 多様体の文脈において、メトリシング可能性が、擬完全性やα有利性を含む広範な位相的性質と同値であることを確立すること。

提案手法

• 多様体の定義として、ユークリッド空間への局所ホメオモルフィズムを基礎とする。
• バーレ空間の性質、チェハ完全性、可算順序の基底といった一般位相の結果を応用する。
• マーティンの公理（MA）や連続体仮説（CH）といった集合論的道具を用いて、同値性の独立性を分析する。
• 長い線や、y軸を区間で置き換えた2次元多様体といった反例を構成し、正規性、分離的性質、または完全正規性がメトリシング可能性を意味しないことを示す。
• 局所凸空間におけるバーレ空間とヴォルテラ空間の同値性といった、一般位相からの既知の同値性を応用し、多様体への含意を導出する。
• 完全メトリシング可能性 ⇒ 擬完全性 ⇒ α有利性という性質の含意関係を分析し、それらをメトリシング可能性と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体におけるどの位相的性質がメトリシング可能性と同値か？
• RQ2 マーティンの公理（MA）や連続体仮説（CH）といった集合論的公理が、完全正規性や強い遺伝的分離的性質とメトリシング可能性との同値性にどの程度影響を及えるか？
• RQ3 分離的性質または正規性だけでは、多様体におけるメトリシング可能性を保証できるか？
• RQ4 正規かつ分離的だがメトリシング不可能な多様体は存在するか？
• RQ5 どのような条件下で完全正規性が多様体におけるメトリシング可能性と同値になるか？

主な発見

• 多様体のメトリシング可能性は、完全メトリシング可能性、擬完全性、α有利性、バーレ性質といった広範な性質と同値である。
• メトリシング不可能な分離的2次元多様体が存在し、分離的性質がメトリシング可能性を保証しないことを示している。
• 長い線は正規的かつ分離的で、α有利性を持つがメトリシング不可能な多様体であり、正規性と分離的性質がメトリシング可能性を意味しないことを示している。
• マーティンの公理に加え¬CHが成り立つと、完全正規性は多様体においてメトリシング可能性を意味するが、CHのもとでは完全正規的だがメトリシング不可能な多様体が存在する。
• 強い遺伝的分離的性質と完全正規性の組み合わせですら、一般にはメトリシング可能性を意味しないことが、CHに基づく構成によって示された。
• 性質（a）や可算順序の基底といった同値性は、集合論的仮定に依存せず、すべての多様体において成り立つ。