[論文レビュー] Metrizability of spaces of valuation domains associated to pseudo-convergent sequences

Giulio Peruginelli, Dario Spirito|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2020

Rings, Modules, and Algebras参考文献 16被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、有理関数体 K(X) 上の付加値環の空間の、擬収束列によって誘導される距離化可能性を、ザリスキ位相と構成可能位相に関して検討する。固定された擬極限をもつ拡張の空間が距離化可能であるための必要十分条件は、基本付加値環の値群が可算であることであり、また、残留体が非可算または値群が非可算である場合には、全ザリスキ空間が距離化可能でないことを示している。

ABSTRACT

Let $V$ be a valuation domain of rank one with quotient field $K$. We study the set of extensions of $V$ to the field of rational functions $K(X)$ induced by pseudo-convergent sequences of $K$ from a topological point of view, endowing this set either with the Zariski or with the constructible topology. In particular, we consider the two subspaces induced by sequences with a prescribed breadth or with a prescribed pseudo-limit. We give some necessary conditions for the Zariski space to be metrizable (under the constructible topology) in terms of the value group and the residue field of $V$.

研究の動機と目的

• 有理関数体 K(X) へのランク1の付加値環 V の拡張の空間が、構成可能位相においていつ距離化可能であるかを特定すること。
• 固定された擬極限または固定された幅をもつ擬収束列によって定義される部分空間の位相的構造を分析すること。
• これらの部分空間におけるザリスキ位相と構成可能位相の関係を明確にすること。
• 擬収束列の文脈における、付加値環空間の距離化可能性および位相に関する既知の結果を拡張すること。
• 擬発散列および擬定常列の位相的性質が、距離化可能性および分離公理とどのように関係するかを調査すること。

提案手法

• 本稿は、固定された幅 δ をもつ擬収束列によって誘導される部分空間 V(•, δ) を研究し、ザリスキ位相および構成可能位相を誘導する自然な非アーチメティック距離を用いる。
• 固定された擬極限 β をもつ部分空間 V(β, •) は、上極限位相の変種を用いて分析され、(−∞, +∞]QΓv と同相であることが示される。
• 擬発散列の場合は、Zar(k(t)|k) への商写像を用いて、残留体 k が非可算である場合には非距離化可能であることを示す。
• δ が値群に属し、残留体が無限大であるとき、Zariski 位相において Vdiv(•, δ) がハウスドルフでないことを証明する。
• Vdiv(β, •) と V(β, •) の間に同相写像を確立し、擬発散列の場合が位相的に擬収束列の場合と同様に振る舞うことを示す。
• 擬定常列の場合は、Zariski 位相および構成可能位相の両方において、Vstat(•, δ) および Vstat(β, •) が離散位相をもつことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理関数体 K(X) への V の拡張の空間が、擬収束列によって誘導される場合、構成可能位相においていつ距離化可能となるか？
• RQ2 V(β, •) の距離化可能性は、V の値群の濃度にどのように依存するか？
• RQ3 V の残留体が非可算である場合、全ザリスキ空間 Zar(K(X)|V)cons は距離化可能か？
• RQ4 Zariski 位相および構成可能位相において、空間 Vdiv(•, δ) および Vdiv(β, •) がもつ位相的性質は何か？
• RQ5 擬定常列の拡張の空間は、Zariski 位相および構成可能位相において離散的か？

主な発見

• 固定された幅 δ をもつ擬収束列によって誘導される拡張の空間 V(•, δ) は、自然な距離関数のもとで完備な非アーチメティック距離空間であり、ここではザリスキ位相と構成可能位相が一致する。
• 固定された擬極限 β をもつ拡張の空間 V(β, •) は、V の値群が可算であることと同値に距離化可能である。
• 残留体が非可算である場合、全ザリスキ空間 Zar(K(X)|V)cons は距離化可能でない。
• δ が値群に属し、残留体が無限大であるとき、Zariski 位相において Vdiv(•, δ) はハウスドルフでない。
• Vdiv(β, •) は V(β, •) と同相であり、したがって値群が可算であることと同値に距離化可能である。
• 擬定常列の拡張の空間 Vstat(•, δ) および Vstat(β, •) は、Zariski 位相および構成可能位相の両方において離散位相をもつ。