[論文レビュー] Metrizability of Topological Vector Space Valued Cone Metric Spaces

Hüseyi̇n Çakallı, Ayşe Sönmez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非線形スカラライゼーション関数を用いて導出される距離から誘導される位相と、TVS値の錐距離から誘導される位相が等価であることを証明することで、位相線形空間（TVS）値の錐距離空間が距離化可能であることを確立している。主な貢献は、錐距離空間の位相的構造が標準的な距離空間の構造と同等であることを示したことであり、これにより、ベクトル値設定において古典的な距離空間の道具が適用可能になる。

ABSTRACT

Scalarization method is an important tool in the study of vector optimization as corresponding solutions of vector optimization problems can be found by solving scalar optimization problems. This is applied by Du (2010) [A note on cone metric fixed point theory and its equivalence, Nonlinear Analysis 72 2259-2261] to investigate the equivalence of vectorial versions of fixed point theorems of contractive mappings in generalized cone metric spaces and scalar versions of fixed point theorems in general metric spaces in usual sense. In this paper we find out that the topology induced by topological vector space valued cone metric coincides with the topology induced by the metric obtained via a nonlinear scalarization function, i.e any topological vector space valued cone metric space is metrizable.

研究の動機と目的

• 位相線形空間（TVS）値の錐距離空間の位相的構造を調査すること。
• そのような空間が距離化可能であるかどうか、すなわちその位相が標準的な距離によって誘導されるかどうかを特定すること。
• TVS値の錐距離の位相と、非線形スカラライゼーションを用いて導出された距離の位相との間の同値性を確立すること。
• 距離化可能性を保証することにより、固定点理論や最適化技法を錐距離空間へと拡張すること。

提案手法

• 非線形スカラライゼーション関数を用いて、TVS値の錐距離を実数値の距離に変換する。
• 元のTVS値の錐距離によって誘導される位相を分析する。
• この位相を、スカラライズされた距離によって誘導される位相と比較する。
• 両者の位相が一致することを証明し、距離化可能性を確立する。
• スカラライズされた距離に対して既知のスカラー距離空間の結果を適用し、位相的性質を導出する。
• Du（2010）が確立した、錐距離空間におけるベクトル的およびスカラー的固定点定理の間の同値性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TVS値の錐距離空間の位相は、標準的な距離によって表現可能か？
• RQ2 TVS値の錐距離空間の位相的構造を保つスカラライゼーション手法は存在するか？
• RQ3 非線形スカラライゼーション関数が、元の錐距離と同一の位相を誘導する距離を生成するか？
• RQ4 古典的な距離空間の結果が、TVS値の錐距離空間へどの程度適用可能か？
• RQ5 錐距離空間の位相的性質と標準的距離空間の性質との間に同値性は存在するか？

主な発見

• TVS値の錐距離によって誘導される位相は、非線形スカラライゼーション関数を用いて導出された距離によって誘導される位相と同一である。
• これは、任意のTVS値の錐距離空間が距離化可能であることを意味する。
• 距離化可能性のおかげで、古典的な固定点定理や距離空間の技法をベクトル値設定へ適用可能になる。
• 位相の同値性のおかげで、収束、完備性、その他の位相的性質がスカラライゼーションの過程で保存される。
• この結果は、スカラライゼーションがベクトル最適化や固定点理論において、位相的に整合的であることを裏付け、その応用を正当化する。