[論文レビュー] Metrizable linear connections in a Lie algebroid

Mihai Anastasiei|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Lie代数小屋における線形接続の計量化条件を検討し、リーマン計量と整合する接続（すなわち、$Dh = 0$）の概念を導入する。この接続が計量化可能であるための必要十分条件は、すべての平行移動が等長写像であることであると証明し、ホロノミー群が直交群 $O(k)$ の部分群であることを示し、ホロノミー構造に基づく計量化の必要十分条件を確立する。

ABSTRACT

A linear connection $D$ in a Lie algebroid is said to be metrizable if there exists a Riemannian metric $h$ in the Lie algebroid such that $Dh=0$. Conditions for the linear connection $D$ to be metrizable are investigated.

研究の動機と目的

• 接続の計量化概念を接接バンドルから一般のLie代数小屋へ拡張すること。
• 線形 $A$-接続がリーマン計量 $h$ を $Dh = 0$ で保存するための必要十分条件を特定すること。
• 接続のホロノミー群を通じて計量化を特徴付けることにより、幾何的整合性と群論的制約を結びつけること。

提案手法

• Lie代数小屋 $A$ のセクションにおけるアングラーマップ $\rho$ とリーブラケットを用いて、ベクターバンドル $(F, q, M)$ 上の線形 $A$-接続を定義する。
• リーマン計量 $h$ に対して $Dh = 0$ の条件を用いて計量化を定義し、平行移動における計量の整合性を保証する。
• $A$-路に 沿った計量の共変微分の公式を導出し、$\left(D_{\alpha}g\right)(\sigma_1, \sigma_2)$ が平行移動に伴う内積の変化率に一致することを示す。
• テイラー展開と局所座標表現を用いて、計量の微分を接続係数 $\Gamma^\mu_{\nu a}$ と計量成分 $g_{\mu\nu}$ に関連付ける。
• $Dh = 0$ が成り立つための必要十分条件として、すべての平行移動が等長写像であること、すなわちホロノミー群 $\Phi(x)$ を幾何的不変量として用いる。
• 計量化が成立するためには、ホロノミー群 $\Phi(x)$ が直交群 $O(k)$ の部分群に同型でなければならないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形 $A$-接続がLie代数小屋上のベクターバンドルにおけるリーマン計量をどの条件下で保存するか。
• RQ2 接続のホロノミー群を通じて、計量化を幾何的にどのように特徴付けることができるか。
• RQ3 $Dh$ の消滅と平行移動の等長性との関係は何か。
• RQ4 Lie代数小屋における接続のホロノミー群を用いて、その接続が計量化可能かどうかを特定できるか。
• RQ5 ホロノミー群が $O(k)$ に含まれるという条件は、$A$-接続の計量化にとって必要かつ十分か。

主な発見

• 線形 $A$-接続が計量化可能であるための必要十分条件は、すべての平行移動がリーマン計量 $h$ に関して等長写像であることである。
• 任意の点 $x \in M$ におけるホロノミー群 $\Phi(x)$ は、$k = \text{rank}(F)$ として直交群 $O(k)$ の部分群でなければならない。
• $Dh = 0$ の条件は、$P_\alpha^t$ を用いた極限表現を通じて、任意の $A$-路に沿った平行移動において計量が保存されることと同値であることが示された。
• 正則ラグランジアン $\mathcal{E}$ に付随するLie代数小屋上のリーマン接続は計量化可能であり、その測地線は同次的セミスプレー $S$ によって生成される。
• 計量から導かれる接続係数 $\Gamma^a_{cd}$ は下付き添え字で対称であり、これにより誘導される接続は torsion を持たないことが示された。
• 計量化可能な接続の一意性は、任意の二つのこのような接続が同じホロノミーを誘導するため、それらが同一でなければ矛盾が生じることから導かれる。