[論文レビュー] Metrizable TAP and STAP groups

Xabier Domínguez Vaja Tarieladze|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、mTAPおよびmSTAPの性質を有する距離化可能な位相群を調査し、Weil完備な距離化可能なmTAP群がmNSSであること、そしてmNSS群がmSTAPであること、さらに距離化可能な群ではmSTAPとmNSSが同値であることを示している。また、無限大のTychonoff空間Xに対してC_p(X,ℝ)はmSTAPを満たさないことが示され、距離化可能な局所平衡的線形空間は、ℤ^(ℕ)に位相的に同型な部分群を含まない場合に限りmSTAPであることが分かった。

ABSTRACT

In a recent paper by D. Shakhmatov and J. Spěvak [Group-valued continuous functions with the topology of pointwise convergence, Topology and its Applications (2009), doi:10.1016/j.topol.2009.06.022] the concept of a ${ m TAP}$ group is introduced and it is shown in particular that ${ m NSS}$ groups are ${ m TAP}$. We prove that conversely, Weil complete metrizable ${ m TAP}$ groups are ${ m NSS}$. We define also the narrower class of ${ m STAP}$ groups, show that the ${ m NSS}$ groups are in fact ${ m STAP}$ and that the converse statement is true in metrizable case. A remarkable characterization of pseudocompact spaces obtained in the paper by D. Shakhmatov and J. Spěvak asserts: a Tychonoff space $X$ is pseudocompact if and only if $C_p(X,\mathbb R)$ has the ${ m TAP}$ property. We show that for no infinite Tychonoff space $X$, the group $C_p(X,\mathbb R)$ has the ${ m STAP}$ property. We also show that a metrizable locally balanced topological vector group is ${ m STAP}$ iff it does not contain a subgroup topologically isomorphic to $\mathbb Z^{(\mathbb N)}$.

研究の動機と目的

• 距離化可能な位相群におけるmTAP、mSTAP、mNSSの性質の関係を明確化すること。
• Tychonoff空間Xに対してC_p(X,ℝ)がmSTAP性質を満たす条件を特定すること。
• 距離化可能な局所平衡的位相線形群におけるmSTAPの特徴付けをすること。
• 距離化可能な設定においてmSTAPとmNSSが同値であることを確立すること。

提案手法

• 関数群における列の収束を用いて定義されるmTAPおよびmSTAP群の性質の利用。
• Weil完備性の応用により、mTAP群の構造的性質を導出すること。
• ℤ^(ℕ)に位相的に同型な部分群を分析するための位相的同型性の議論を用いる。
• 先行研究におけるC_p(X,ℝ)における擬コンパクト性の特徴付けをmTAPを用いて応用すること。
• C_p(X,ℝ)が無限大のXに対してmSTAPでないことを示すために、位相的および逐次的議論を用いる。
• 構造的群論的解析を通じて、mSTAPとmNSSの性質を比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Weil完備な距離化可能なmTAP群は、必然的にmNSSか？
• RQ2 距離化可能な設定において、mSTAP性質はmNSSと同値か？
• RQ3 どのTychonoff空間Xに対してC_p(X,ℝ)はmSTAPか？
• RQ4 距離化可能な局所平衡的位相線形群がℤ^(ℕ)に位相的に同型な部分群を含む場合、mSTAP構造は存在するか？
• RQ5 Xが無限大のとき、C_p(X,ℝ)はmSTAPになり得るか？

主な発見

• Weil完備な距離化可能なmTAP群はmNSSであり、既知の含意の逆が成立することを示した。
• mNSS群はmSTAPであり、距離化可能な場合、逆も成り立つ：mSTAP ⇒ mNSS。
• 無限大のTychonoff空間Xに対して、C_p(X,ℝ)はmSTAPを満たさない。これは関数空間におけるmSTAP性質に強い制限を示している。
• 距離化可能な局所平衡的位相線形群は、ℤ^(ℕ)に位相的に同型な部分群を含まない場合に限りmSTAPである。
• 距離化可能な群では、mSTAP性質は特定の可算離散部分群の不在と同値であり、構造的特徴付けが得られた。