[論文レビュー] Mickelsson algebras and representations of Yangians

S. Khoroshkin, Maxim Nazarov|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℂⁿ の対称冪および外冪のテンソル積の商として、歪みヤンニアン Y(spₙ) および Y(soₙ) の既約な有限次元表現を構成する。Mickelsson代数および極端射影を用いて、これらのモジュールの新たな実現を与える。既約モジュールとモニック多項式の列との間の対応関係を確立し、重みの特異性と Zhelobenko 自動同型によるワイル群作用を関連付ける。

ABSTRACT

We use the theory of reductive dual pairs due to Howe to obtain explicit realizations of irreducible representations of the Yangian of the general linear Lie algebra, and of the twisted Yangians corresponding to the symplectic and orthogonal Lie algebras.

研究の動機と目的

• 歪みヤンニアン Y(spₙ) および Y(soₙ) の既約な有限次元モジュールの新たな実現を、ℂⁿ の対称冪および外冪のテンソル積の商を用いて行う。
• Y(glₙ) に対する既知の実現を、Mickelsson代数の技法および極端射影を用いて歪みヤンニアンへ拡張する。
• soₙ作用が SOₙ に統合されるという条件下で、Y(soₙ) の既約モジュールを多項式不変量およびワイル群作用によって特徴付ける。
• 既約モジュールとモニック多項式の列との間の対応関係を確立し、重みの特異性によって決定される分裂挙動を特定する。
• Zhelobenko 自動同型および動的ワイル群が歪みヤンニアンの表現論において果たす役割を明確化する。

提案手法

• 再帰的部分代数 g の随伴作用を用いて、U(g) を含む結合代数 A 内の右イデアル J = nA の正規化の商として、Mickelsson代数 R を構成する。
• A の分数環 A̅ を導入し、R̅ を nA̅ の正規化の商として定義する。このとき、Z̅ = A̅/(J̅ + J̅′) としての商空間により、R̅ は双方向的記述を備える。ここで J̅′ は反対の冪零イデアルである。
• g における極端射影を用いて、R̅ 内の乗法をベクトル空間 Z̅ の言語で記述し、明示的なモジュール構成を可能にする。
• Z̅ 上のバターン群作用に由来する Zhelobenko 自動同型を用いて、Z̅ 内のゼロ重み部分代数へのワイル群作用を定義する。
• G が A に作用すること（U(g) 上の随伴作用を拡張）を用い、G 不変要素を定義し、Z̅ に射影してモジュールを構成する。
• ヤンニアン作用を用いてモジュール間の相互作用作用素を構成し、核の商が既約表現を与える。分裂の条件は δ = ±1 によって決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 歪みヤンニアン Y(spₙ) および Y(soₙ) の既約な有限次元モジュールは、ℂⁿ の対称冪および外冪のテンソル積の商としてどのように実現可能か？
• RQ2 Mickelsson代数および極端射影は、歪みヤンニアンの表現の構成および分類において、どのように機能するか？
• RQ3 Zhelobenko 自動同型および Z̅ のゼロ重み部分代数へのワイル群作用は、Y(soₙ) の表現論とどのように関係するか？
• RQ4 Y(soₙ)-モジュール間の相互作用作用素が、2つの非同値な既約成分に分裂する条件は何か？
• RQ5 どのような多項式不変量が、既約な有限次元 Y(soₙ)-モジュールを分類し、重み λ および μ とどのように関係するか？

主な発見

• Y(spₙ) のすべての既約な有限次元モジュールは、ℂⁿ の対称冪および外冪のテンソル積の商として実現可能である。
• Y(soₙ) において、soₙ作用が SOₙ に統合されるすべての既約な有限次元モジュールは、そのようなテンソル積の商として現れ、λ + ρ が特異でないという条件を満たす。
• 相互作用作用素 (4.58) は、核の商が既約であれば Y(soₙ)-モジュールを生成し、δ = ±1 のときには2つの非同値な既約モジュールに分裂する。
• モジュールに関連する多項式 Qₗ(x) は、νₐ = l を満たす添え字 a 全体について、x² − (μₐ + ρₐ)² の差積として与えられ、分裂が生じるのは μₐ + ρₐ = 0 となる a が存在する場合に限る。
• 重み λ および μ は、so₂ₘ の群 R のシフトされたワイル群作用を除き、一意に定まる。ここで、ペア (λₐ + ρₐ, μₐ + ρₐ) の置換および符号反転が許可される。
• ν₁ = … = νₘ = 0 のとき、(4.58) の源および標的モジュールは自明であり、λ + ρ が特異でない限り、作用素は恒等写像 ℂ → ℂ に帰着する。