[論文レビュー] Micro-Macro Modelling of an Array of Spheres Interacting Through Lubrication Forces

Aline Lefebvre-Lepot, Bertrand Maury+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2008

Adhesion, Friction, and Surface Interactions被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、潤滑力によって相互作用する剛体球の密集系に対して、局所的な流体体積分率に逆比例する拡張粘性度を有するニュートン流に類似した粘弾性方程式を導出する、巨視的構成モデルを提案する。主な貢献は、粒子の接触やクラスタ内での無限大に発散する有効粘性度を許容しても、離散解が連続偏微分方程式に弱収束することの厳密な証明である。

ABSTRACT

We consider here a discrete system of spheres interacting through a lubrication force. This force is dissipative, and singular near contact: it behaves like the reciprocal of interparticle distance. We propose a macroscopic constitutive equation which is built as the natural continuous counterpart of this microscopic lubrication model. This model, which is of the newtonian type, relies on an elongational viscosity, which is proportional to the reciprocal of the local fluid fraction. We then establish the convergence in a weak sense of solutions to the discrete problem towards the solution to the partial differential equation which we identified as the macroscopic constitutive equation.

研究の動機と目的

• 剛体球が潤滑力によって相互作用する離散的系の有効な流れ応答を捉える連続的巨視的モデルを導出すること。
• 接触付近で特異的になる潤滑力に起因する粘性度の発散（粒子間隔がゼロに近づくと無限大に発散）という課題に対処すること。
• 有効粘性度がクラスタ内で無限大に達する場合でも、離散解が弱位相において連続偏微分方程式の解に収束することを確立すること。
• 古典的均質化理論の標準的仮定を破る、無限大に達する拡散係数（完全充填領域における無限大粘性度）を許容するように、既存の均質化フレームワークを一般化すること。
• 時間に依存する粒子配置にモデルを拡張し、速度場と固体体積分率の輸送方程式を結合すること。

提案手法

• 近接する球体間の相互作用を、粒子間隔の逆数に比例する潤滑力でモデル化し、簡略化のため比例定数をκ = 1とする。
• 直線上に配置されたN+1個の球体からなる離散系を定義し、位置qᵢ(t)、速度uᵢ(t)、固体体積分率ρᵢ(t)を導入する。ここでρᵢ = 1は接触を意味する。
• 相対速度と粒子間隔を用いて離散勾配を定義し、その弱い意味での微分を用いて、区分的定数関数u^εおよびその導関数を構成する。
• 力のバランスの連続的極限として、形式−∂ₓ[(1−ρ)⁻¹ ∂ₓu] = ρfの巨視的偏微分方程式を導出する。ここでfは外部体積力である。
• 粒子の運動に伴う固体体積分率の時間発展を記述する輸送方程式∂ₜρ + ∂ₓ(ρu) = 0を導入する。
• 速度勾配と時間微分の一様有界性を仮定することで、離散速度場および密度場が連続偏微分方程式系の解に弱収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的潤滑力によって相互作用する離散的球体系から、どのように連続的巨視的モデルを導出できるか？
• RQ2 粒子間隔がゼロに近づき潤滑力が支配的になる状況下で、巨視的流れ応答を捉える有効な構成関係は何か？
• RQ3 固体体積分率が1（完全充填）に達し局所的粘性度が無限大に発散する状況下でも、離散解が連続偏微分方程式に収束することは保証できるか？
• RQ4 本モデルは粒子クラスタリングや接触をどのように扱い、その結果得られる特異的偏微分方程式の数学的構造はどのようなものか？
• RQ5 慣性を含めた場合や、流体の粘性度がゼロに近づく極限での系の挙動はどのように変化するか？

主な発見

• 巨視的モデルは特異的楕円型偏微分方程式−∂ₓ[(1−ρ)⁻¹ ∂ₓu] = ρfとして得られ、有効な拡張粘性度が局所的流体体積分率(1−ρ)に逆比例する。
• 粒子接触（ρ = 1）を許容し、これにより局所的粘性度が無限大に達するが、連続的定式化は巨視的クラスタの自然な記述を可能にする。
• 速度と勾配の有界性を適切に仮定すれば、離散解列が連続偏微分方程式の解に弱収束することを厳密に証明した。
• 相対速度の式に(1−ρᵢ)の因子が含まれるため、接触付近でも速度勾配がεに依存せずに一様に有界であり、発散を防ぐ。
• 時間に依存する系への拡張により、連立系∂ₜρ + ∂ₓ(ρu) = 0 および ∂ₜ(ρu) + ∂ₓ(ρu²) − ∂ₓ[(1−ρ)⁻¹ ∂ₓu] = ρfが得られ、特異的粘性度を有する1次元圧力なしナビエ＝ストークス系に類似した形となる。
• 流体粘性度がゼロに近づく極限（ε→0）において、圧力に類似した場と履歴を追跡する場γを有する「接着性の強い」粒子系を示唆しており、低粘性領域における接触回避に関する先行研究と整合的である。