[論文レビュー] Micro-support and Cauchy problem for temperate solutions of regular $\cal D$-Modules

Masaki Kashiwara, Térésa Monteiro Fernandes+1 more|ArXiv.org|Dec 12, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素多様体 $X$ の余接 bundle 内の滑らかな自己同型部分多様体 $V$ に沿って、正則 $\rho$-加群の温度的微小関数解の微小台を特定する。微小局所的手法と温度的コhomology を用いて、解複体の微小台が、$\times$-局所的可解層 $F$ の余接付属多様体の反転写像の引き戻しに含まれることを証明し、双曲的仮定の下でコーシー問題を解けることを示している。

ABSTRACT

Let $X$ be a complex manifold, $V$ a smooth involutive submanifold of $T^*X$, $\cal M$ a microdifferential system regular along $V$, and $F$ an $\mathbb{R}$-constructible sheaf on $X$. The complex of temperate microfunction solutions of $\cal M$ associated with $F$ is now well understood. In this paper we study the temperate case and give a bound to the micro-support of the temperate microfunction solution sheaves and solve the Cauchy problem under suitable hyperbolicity conditions.

研究の動機と目的

• 古典的超関数論では捉えきれない温度的微小関数解の正則 $\rho$-加群への微小局所解析の拡張を図ること。
• 分布や温度的成長を示す関数の文脈において、標準的微小局所ツールの限界を克服すること。
• 余接付属多様体と反転写像を用いた、温度的解の微小台の幾何的特徴づけを提供すること。
• 双曲的条件の下で、正則 $\rho$-加群の温度的解を伴うコーシー問題を解くこと。
• 超関数から、分布や極を持つメルモーフィック関数を含むより広い一般化関数のクラスへの結果の一般化すること。

提案手法

• 温度的微小関数解の複体を $R\mathcal{H}om_{\mathcal{D}_X}(\mathcal{M}, \mathcal{T}\mu\text{hom}(F, \mathcal{O}_X))$ として定義する。
• 可解層 $F$ の微小台 $SS(F)$ と特徴的多様体 $\operatorname{char}(\mathcal{M})$ を用いて、微小局所化を行う。
• 正規バンドル $T_V(T^*X)$ 上の反転写像 $a$ を適用し、引き戻し $\rho_V^{-1}(C_V(SS(F))^a)$ を構成する。
• ファイバー内での凸包作用 $\hat{+}$ を用いて、$\overline{p}_2^{-1}F$ と $\mathbb{C}_\Omega$ の微小台を結合する。
• 幾何的データをジャンプ空間におけるデータと余接バンドルとを関連付けるために、$T^*(TX) \simeq T(T^*X)$ の同型を用いる。
• 序列 $\tilde{V}$, $SS(\overline{p}_2^{-1}F)^a$, $SS(\mathbb{C}_\Omega)^a$ を用いた漸近的解析により、$C(V, SS(F))$ への包含を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的微小局所ツールが機能しない状況において、正則 $\mathcal{D}$-加群の温度的解の微小台をどのように推定できるか？
• RQ2 特異点が存在する状況で、コーシー問題の可解性を保証する幾何的条件は何か？
• RQ3 余接付属多様体 $C_V(SS(F))$ は、解複体の微小台とどのように関係するか？
• RQ4 反転写像 $SS(F)^a$ は、温度的設定における特異点の伝播を制御するために用いることができるか？
• RQ5 滑らかな準同型 $f: X \to Y$ と部分多様体 $V = X \times_Y T^*Y$ は、解の微小台を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 複体 $R\mathcal{H}om_{\mathcal{D}_X}(\mathcal{M}, \mathcal{T}\mu\text{hom}(F, \mathcal{O}_X))$ の微小台は $\rho_V^{-1}(C_V(SS(F))^a)$ に含まれ、鋭い幾何的境界を与える。
• この推定は、$\mathcal{M}$ が滑らかな自己同型部分多様体 $V \subset T^*X$ に沿って正則であるという仮定の下で成り立つ。
• 滑らかな準同型 $f: X \to Y$ で $V = X \times_Y T^*Y$ であるとき、閉部分解析的集合 $S \subset M$ 沿いの温度的成長を示す解の微小台は $SS(\cdots) \subset V \hat{+} (SS(\mathbb{C}_S))^a$ を満たす。
• 証明は、$\tilde{V}$, $SS(\overline{p}_2^{-1}F)^a$, $SS(\mathbb{C}_\Omega)^a$ 内の漸近的序列に依拠し、$C(V, SS(F))$ 内の点に収束する。
• $i^\sharp(\tilde{V} \hat{+} (SS(\overline{p}_2^{-1}F)^a + SS(\mathbb{C}_\Omega)^a)) \subset C(V, SS(F))$ の包含関係は、ファイバー方向の序列の収束により確立される。
• 結果は、古典的微小局所結果を温度的設定に一般化し、分布や極を持つメルモーフィック関数に対してもコーシー問題が解けるようにする。