[論文レビュー] Microformal geometry

Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Advanced Topics in Algebra被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、余接方向における形式的べき級数を用いて定義される形式的正則関係（形式的 canonical relations）としての微小形式的準同型（microformal morphisms）を導入し、超多様体間の滑らかな写像の一般化を行う。形式的圏において、これらの準同型による引き戻しは非線形代数準同型を定め、ポisson多様体およびSchouten多様体に対する $L_{\infty}$-準同型の構成を可能にする。また、$\alpha \to 0$ の極限において、フーリエ積分作用素による量子的引き戻しと関連づける。

ABSTRACT

We extend the category of (super)manifolds and their smooth mappings by introducing a notion of microformal or thick morphisms. They are formal canonical relations of a special form, constructed with the help of formal power expansions in cotangent directions. The result is a formal category so that its composition law is also specified by a formal power series. A microformal morphism acts on functions by an operation of pullback, which is in general a transformation. More precisely, it is a formal mapping of formal manifolds of even functions (bosonic fields), which has the property that its derivative for every function is a ring homomorphism. This suggests an abstract notion of a nonlinear algebra homomorphism and the corresponding extension of the classical algebraic-functional duality. There is a parallel fermionic version. The obtained formalism provides a general construction of $L_{\infty}$-morphisms for functions on Poisson ($P_{\infty}$-) or Schouten ($S_{\infty}$-) manifolds as pullbacks by Poisson microformal morphisms. We also show that the notion of the adjoint can be generalized to operators as a microformal morphism. By applying this to $L_{\infty}$-algebroids, we show that an $L_{\infty}$-morphism of $L_{\infty}$-algebroids induces an $L_{\infty}$-morphism of the homotopy Lie--Poisson brackets for functions on the dual vector bundles. We apply this construction to higher Koszul brackets on differential forms and to triangular $L_{\infty}$-bialgebroids. We also develop a version (for the bosonic case), whose relation with the classical version is like that of the Schrodinger equation with the Hamilton--Jacobi equation. We show that the pullbacks by microformal morphisms are the limits at $\hbar o 0$ of certain quantum pullbacks, which are defined as special form Fourier integral operators.

研究の動機と目的

• 超多様体の圏を、余接方向における形式的べき級数を用いた形式的正則関係としての微小形式的準同型を導入することによって拡張すること。
• 形式的べき級数法則を用いて、これらの準同型の形式的合成法則を定式化すること。
• 関数上の引き戻しの概念を、古典的な代数的・関数的双対性を拡張する非線形代数準同型へ一般化すること。
• ポアソン微小形式的準同型を用いて、$P_{\infty}$-および $S_{\infty}$-多様体上の関数に対する $L_{\infty}$-準同型を構成すること。
• 作用素の随伴作用素の概念をこの形式的枠組みに一般化し、$L_{\infty}$-代数的束体に作用させることで、ホモトピー的Lie--ポアソン括弧の間の $L_{\infty}$-準同型を誘導すること。

提案手法

• 微小形式的準同型を、余接方向における形式的べき級数から構成される形式的正則関係として定義する。
• 形式的べき級数法則を用いて、微小形式的準同型の合成を形式的に定式化する。
• 微小形式的準同型による関数の引き戻しを、微分的環準同型である非線形変換として表現する。
• 微小形式的準同型と、ポアソンまたはSchouten多様体上の関数に対する $L_{\infty}$-準同型との間の対応関係を確立する。
• シュレーディンガー方程式とハミルトン–ヤコビ方程式の関係に類似した、形式的枠組みのボソン的バージョンを構築する。
• 微小形式的引き戻しが、特別な形のフーリエ積分作用素として定義される量子的引き戻しの古典的極限（$\hbar \to 0$）として現れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな超多様体間の写像は、どのように余接方向におけるべき級数を用いて、非線形的関数引き戻しに一般化できるか？
• RQ2 このような一般化された準同型の形式的合成法則は何か？ そして、圏における構造をどのように保存するか？
• RQ3 ポアソンまたはSchouten多様体上の関数に対する $L_{\infty}$-準同型は、微小形式的準同型による引き戻しとして構成可能か？
• RQ4 この形式的枠組みにおいて、随伴作用素の概念はどのように一般化され、$L_{\infty}$-代数的束体に与える影響は何か？
• RQ5 微小形式的引き戻しの量子的双対は何か？ そして、古典的極限においてどのように関連するか？

主な発見

• 微小形式的準同型は、形式的べき級数によって支配される合成を持つ形式的圏を提供し、超多様体間の滑らかな写像を一般化する。
• 微小形式的準同型による引き戻しは、偶数関数上で非線形代数準同型を定め、古典的な代数的・関数的双対性を拡張する。
• この構成により、$P_{\infty}$-および $S_{\infty}$-多様体上の関数に対する $L_{\infty}$-準同型が、ポアソン的微小形式的準同型を用いて得られる。
• 作用素の随伴作用素の概念が、微小形式的準同型としての作用素へ一般化され、$L_{\infty}$-代数的束体の双対ベクトル bundle 上のホモトピー的Lie--ポアソン括弧の間の $L_{\infty}$-準同型を可能にする。
• 微小形式的引き戻しが、特別な形のフーリエ積分作用素として定義される量子的引き戻しの古典的極限（$\hbar \to 0$）として現れることを示した。
• シュレーディンガー方程式とハミルトン–ヤコビ方程式の関係に類似した構造的類似性を持つ、形式的枠組みのボソン的バージョンが開発された。