[論文レビュー] Microlocal analysis in the dual of a Colombeau algebra: generalized wave front sets and noncharacteristic regularity

Claudia Garetto|ArXiv.org|Nov 11, 2005

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 46被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、コロンベール代数 ${\cal G}_{\mathrm{c}}(\Omega)$ の双対空間内の汎関数に対して、一般化された波面集合—${\cal G}$-および ${\cal G}^\infty$-波面集合—を導入し、一般化された汎関数における微局所的正則性理論を構築する。フーリエ変換による特徴付けを確立し、基本的汎関数について非特徴的正則性定理を証明することで、擬微分作用素の技法を用いて、古典的微局所解析をコロンベール設定へと拡張する。

ABSTRACT

We introduce different notions of wave front set for the functionals in the dual of the Colombeau algebra $\Gc(\Om)$ providing a way to measure the $\G$ and the $\Ginf$- regularity in $\LL(\Gc(\Om),\wt{\C})$. For the smaller family of functionals having a ``basic structure'' we obtain a Fourier transform-characterization for this type of generalized wave front sets and results of noncharacteristic $\G$ and $\Ginf$-regularity.

研究の動機と目的

• コロンベール代数 $\mathcal{L}({\cal G}_{\mathrm{c}}(\Omega),\widetilde{\mathbb{C}})$ の双対空間に属する汎関数のための微局所的正則性理論を構築すること。
• このような汎関数の ${\cal G}$ および ${\cal G}^\infty$-正則性を測る一般化された波面集合を定義し、特徴付けること。
• 一般化された関数から双対空間へと非特徴的正則性結果を拡張するため、一般化された記号をもつ擬微分作用素を用いること。
• 「基本的構造」を持つ汎関数の波面集合について、フーリエ変換に基づく特徴付けを提供すること。

提案手法

• 汎関数 $T$ が ${\cal G}(\Omega)$ や ${\cal G}^\infty(\Omega)$ に写されるような擬微分作用素の一般化された非楕円的性質の錐領域の共通部分として、${\cal G}$-波面集合 $\mathrm{WF}_{\cal G}(T)$ および ${\cal G}^\infty$-波面集合 $\mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(T)$ を定義する。
• フーリエ変換の性質を、$\mathbb{R}^n$ の錐領域における切り捨て関数との積としての $T$ のフーリエ変換の振る舞いを分析することによって、特徴付ける。
• 一様連続性を満たし、$Tu = [(T_\varepsilon u_\varepsilon)_\varepsilon] \in \widetilde{\mathbb{C}}$ を満たすネット $(T_\varepsilon)$ で定義される「基本的汎関数」に限定する。
• 特に、先行研究におけるパラメトリックス構成と記号計算を含む、スローレイド記号をもつ一般化された擬微分作用素の理論を適用する。
• それぞれ $AT \in {\cal G}(\Omega)$ または ${\cal G}^\infty(\Omega)$ を満たすような、古典的正則な特徴付きを持つ作用素 $A$ を用いて、$\mathrm{W}_{\mathrm{cl},{\cal G}}(T)$ および $\mathrm{W}_{\mathrm{cl},{\cal G}^\infty}(T)$ を定義する。
• このような作用素の特徴的集合の共通部分をとることにより、波面集合とこれらの作用素に基づく特徴付けとの同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コロンベール代数の双対空間に属する汎関数のための微局所的正則性は、どのように測定できるか？
• RQ2 一般化された関数ではなく、双対空間内の分布であるような汎関数に対して、波面集合の適切な一般化は何か？
• RQ3 このような汎関数の一般化された波面集合について、フーリエ変換に基づく特徴付けを確立できるか？
• RQ4 非特徴的正則性の結果は、一般化された関数からコロンベール代数の双対空間へ、どの程度まで拡張可能か？
• RQ5 ${\cal G}$-および ${\cal G}^\infty$-波面集合は、埋め込み下での分布の古典的波面集合とどのように関係するか？

主な発見

• ${\cal G}$-波面集合 $\mathrm{WF}_{\cal G}(T)$ および ${\cal G}^\infty$-波面集合 $\mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(T)$ は、すべての $\mathcal{L}({\cal G}_{\mathrm{c}}(\Omega),\widetilde{\mathbb{C}})$ に属する汎関数に対して適切に定義されており、擬微分作用素による完全な特徴付けが可能である。
• 基本的汎関数に対しては、波面集合は、$T$ を ${\cal G}(\Omega)$ や ${\cal G}^\infty(\Omega)$ に写す作用素の特徴的集合の共通部分として定義される、作用素に基づく集合 $\mathrm{W}_{\mathrm{cl},{\cal G}}(T)$ および $\mathrm{W}_{\mathrm{cl},{\cal G}^\infty}(T)$ と一致する。
• フーリエ変換による特徴付けが確立された：波面集合は、錐領域における切り捨て関数との積をとった $T$ のフーリエ変換の減衰性によって決定される。
• 非特徴的正則性結果が成立する：適切に台がコンパクトな擬微分作用素 $P$ とスローレイド記号をもつ場合、$\mathrm{WF}_{\cal G}(T) \subseteq \mathrm{WF}_{\cal G}(PT) \cup \mathrm{Ell}_{\mathrm{sc}}(p)^c$ および $\mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(T) \subseteq \mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(PT) \cup \mathrm{Ell}_{\mathrm{sc}}(p)^c$ が成り立つ。
• 標準的埋め込み $\iota_d$ の下で、分布 $w$ の ${\cal G}^\infty$-波面集合はその古典的波面集合と一致する：$\mathrm{WF}_{{\cal G}^\infty}(\iota_d(w)) = \mathrm{WF}(w)$。