[論文レビュー] Microlocal condition for non-displaceablility

Dmitry Tamarkin|ArXiv.org|Sep 9, 2008

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 1被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、フローリングホモロジーに依存しない、Kashiwara-Schapiraの層の微局所理論を用いた、余接 bundle 内のコンパクト部分集合の非移動可能性に対する新しい微局所層的条件を導入する。主な結果として、実射影空間と複素射影空間内のクレイフォードトーラスがハミルトニアンシンプレクティック同相写像のもとで互いに非移動可能であることが示され、これは $T^*\mathrm{SU}(N)$ へのラグランジュ的対応と新しい基準を用いて証明される。

ABSTRACT

We formulate a sufficient condition for non-displaceability (by Hamiltonian symplectomorphisms which are identity outside of a compact) of a pair of subsets in a cotangent bundle. This condition is based on micro-local analysis of sheaves on manifolds by Kashiwara-Schapira. This condition is used to prove that the real projective space and the Clifford torus inside the complex projective space are mutually non-displaceable

研究の動機と目的

• 余接 bundle 内のコンパクト部分集合の非移動可能性に関する新しい十分条件を、微局所層理論を用いて開発すること。
• フローリング理論に依存しない、シンプレクティックトポロジーにおける非移動可能性の証明法を提供すること。
• $\mathbb{RP}^N$ と $\mathbb{CP}^N$ 内のクレイフォードトーラスの非移動可能性を、この新しい基準を用いて確立すること。
• ラグランジュ的対応を介して微局所層不変量とシンプレクティック不変量を結びつけること。

提案手法

• 空間 $X \times \mathbb{R}$ 上の層の導来圏の商として定義される圏 $\mathcal{D}(X)$ を定義する。ここで、$\Omega_{\leq 0}$ は $\partial_t$-成分が非正である1次形式の集合である。
• 対象 $F \in \mathcal{D}(X)$ の微局所的台 $\mathrm{SS}_{\mathcal{D}}(F)$ を、$\mathrm{SS}(F)$ と $\Omega_{>0}$（$\partial_t$-成分が正である1次形式の集合）の共通部分集合として定義する。
• 部分集合 $A \subset T^*X$ に対して、$\mathcal{D}_A(X)$ を $\mathcal{D}(X)$ のフル部分圏とし、その対象の微局所的台が $\mathrm{Cone}(A) \subset \Omega_{>0}$ に含まれるように定義する。
• $c > 0$ に対して、$\mathbb{R}$ 要素における平行移動によって誘導される、$\mathcal{D}_A(X)$ 上の自然変換 $\tau_c: \mathrm{id} \to T_{c*}$ を構成する。
• 非移動可能性の条件を次のように定式化する：すべての $c \geq 0$ に対して、誘導写像 $R\hom(F_A, F_B) \to R\hom(F_A, T_{c*}F_B)$ が消えないならば、$A$ と $B$ は非移動可能である。
• $T^*\mathrm{SU}(N)$ と $\mathbb{CP}^N \times (\mathbb{CP}^N)^{\mathrm{opp}}$ 間のラグランジュ的対応を用いて、$\mathbb{CP}^N$ 内の非移動可能性問題を $T^*\mathrm{SU}(N)$ 内の問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック多様体内の部分集合の非移動可能性は、フローリングホモロジーに依存しない微局所層理論によって特定可能か？
• RQ2 余接 bundle 内の2つのコンパクト部分集合の非移動可能性を保証する正確な微局所的条件は何か？
• RQ3 $\mathbb{RP}^N$ と $\mathbb{CP}^N$ 内のクレイフォードトーラスの非移動可能性は、どのように層的理論的手法によって確立できるか？
• RQ4 $H(F_A, F_B)$ 上のノヴィコフモジュール構造は、フローリングコホモロジーとどのように関連づけられるか？

主な発見

• 本稿は、すべての $c \geq 0$ に対して $R\hom(F_A, F_B) \to R\hom(F_A, T_{c*}F_B)$ の写像が消えないことによって、$T^*X$ 内の非移動可能性の十分条件を確立する。
• $\mathbb{RP}^N$ と $\mathbb{CP}^N$ 内のクレイフォードトーラス $\mathbb{T}^N$ は、ハミルトニアンシンプレクティック同相写像のもとで互いに非移動可能である。
• 非移動可能性の結果は、$T^*\mathrm{SU}(N)$ へのラグランジュ的対応を用いて証明され、問題が余接 bundle の設定に還元される。
• ノヴィコフ環は $H(F_A, F_B)$ 上に作用し、この不変量の torsion でない部分を捉えることから、フローリングコホモロジーとの関連が示唆される。
• 微局所条件はフローリング理論に依存せず、$\mathcal{D}(X)$ と $\Omega_{>0}$ 内の微局所的台に依存する。
• 移動関手 $T_{c*}$ と自然変換 $\tau_c$ を用いて、$\mathbb{R}_{\geq 0}$ の作用をホモロジー複体に定義し、ノヴィコフ型モジュール構造を導く。