[論文レビュー] Microlocal Morse theory of wrapped Fukaya categories

Sheel Ganatra, John Pardon+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 57被引用数 47

ひとこと要約

論文は cotangent バンドルを部分的に包絡させた停止集合を持つ部分的に包絡された Fukaya カテゴリと、その停止にミクロサポートを持つ層の無境界派生カテゴリのコンパクトオブジェクトとの間に同値性があることを証明し、ミクロ局所的フレームワークを介して安定偏極された Weinstein セクターへ拡張する。

ABSTRACT

The Nadler--Zaslow correspondence famously identifies the finite-dimensional Floer homology groups between Lagrangians in cotangent bundles with the finite-dimensional Hom spaces between corresponding constructible sheaves. We generalize this correspondence to incorporate the infinite-dimensional spaces of morphisms 'at infinity', given on the Floer side by Reeb trajectories (also known as "wrapping") and on the sheaf side by allowing unbounded infinite rank sheaves which are categorically compact. When combined with existing sheaf theoretic computations, our results confirm many new instances of homological mirror symmetry. More precisely, given a real analytic manifold $M$ and a subanalytic isotropic subset $Λ$ of its co-sphere bundle $S^*M$, we show that the partially wrapped Fukaya category of $T^*M$ stopped at $Λ$ is equivalent to the category of compact objects in the unbounded derived category of sheaves on $M$ with microsupport inside $Λ$. By an embedding trick, we also deduce a sheaf theoretic description of the wrapped Fukaya category of any Weinstein sector admitting a stable polarization.

研究の動機と目的

• wrapped Fukaya カテゴリを非有限空間設定で研究する動機づけと層理論との関係
• Nadler–Zaslow を拡張して無限大での形態素空間（wrappping）を含める
• Lambda で停止させた wrapped Fukaya カテゴリとミクロサポートを持つ層カテゴリのコンパクトオブジェクトとの厳密な同値性を確立する

提案手法

• Lambda で停止させた部分的に包絡された Fukaya カテゴリ W(X, Lambda) を定義・取り扱う
• 構成層・ミクロ局所層理論・ミクロ局所モース理論を用いて対象と射をモデル化する
• Lambda ↦ Perf W(T* M, Lambda)^{op} と Lambda' への包含に基づく挙動を比較して公理駆動的な同値性を証明する
• linking disks と microstalks をミクロ局所モース記述と wrapping による三角関係を用いて結ぶ
• real-analytic Liouville 多様体 X と subanalytic isotropic stop、安定偏 polarizations に拡張して microlocal sheaf カテゴリへの関手を得る

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に包絡された Fukaya カテゴリ stops at subanalytic isotropic stop Lambda をミクロ局所層理論の観点で完全に記述できるか？
• RQ2 Perf W(T* M, Lambda)^{op} が Sh_Lambda(M)^{c} と同一になるか？
• RQ3 wrap/stop 操作は層側のミクロ局所分類操作に対応するか？
• RQ4 cotangent bundle の場合を一般の安定偏 polarisation を持つ Weinstein セクターへ doubling/antimicrolocalization アプローチで拡張可能か？
• RQ5 局所的ミクロ層と wrapped Floer 理論の観点から同形 mirrors の計算にどんな意味があるか？

主な発見

• 実解析的な M および S^*M 内の部分解析的等方 Lambda に対して canonical な同値性 Perf W(T* M, Lambda)^{op} ≃ Sh_Lambda(M)^{c} が成り立つ。
• 連結 disk が smooth の Legendrian 点でのミクロ stalk 関数の共表現, cotangent fiber が stalk 関数の共表現へと写される。
• この結果は、ミクロサポートが Lambda にある無限境界派生カテゴリのコンパクトオブジェクトを介して wrapped Fukaya カテゴリを層理論的に記述する。
• Lambda ↦ Perf W(T* M, Lambda)^{op} を公理化し、包含に対して Lambda ↦ Sh_Lambda(M)^{c} に一致させることによって Whitney 分割とミクロ局所モース理論を活用するアプローチ。
• 定理 1.4 は一般の安定偏 polarisation Liouville 多様体への同値性を拡張し、Perf W(X, Lambda)^{op} を μ sh_{c_{X, Lambda}}(c_{X, Lambda})^{c} に埋め込み、Weinstein/ホモロジーコアを満たすときに同値になる。
• この枠組みは鏡像対称性の多くの計算をミクロ局所層カテゴリの計算として再解釈する道を提供する。