[論文レビュー] Microscopic chaos and transport in thermostated dynamical systems

Rainer Klages|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2003

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、駆動された周期的ローレンツ系やせん断された多粒子系をモデルとして、温度制御された力学系における微視的カオスの分析を通じて、非平衡統計力学を検討する。輸送係数と力学的不変量（例えば、リャプノフ指数や共役ペアリング則）の普遍的関係を確立し、決定論的サーモスタットが一貫した非平衡定常状態を生成し、フラクチュアーション定理やアクティブブラウン運動粒子モデルと深い関係を示すことを示している。

ABSTRACT

A fundamental challenge is to understand nonequilibrium statistical mechanics starting from microscopic chaos in the equations of motion of a many-particle system. In this review we summarize recent theoretical advances along these lines. Particularly, we are concerned with nonequilibrium situations created by external electric fields and by temperature or velocity gradients. These constraints pump energy into a system, hence there must be some thermal reservoir that prevents the system from heating up. About twenty years ago a deterministic and time-reversible modeling of such thermal reservoirs was proposed in form of Gaussian and Nose-Hoover thermostats. This approach yielded simple relations between fundamental quantities of nonequilibrium statistical mechanics and of dynamical systems theory. The main theme of our review is to critically assess the universality of these results. As a vehicle of demonstration we employ the driven periodic Lorentz gas, which is a toy model for the classical dynamics of an electron in a metal under application of an electric field. Applying different types of thermal reservoirs to this system we compare the resulting nonequilibrium steady states with each other. Along the same lines we discuss an interacting many-particle system under shear and heat. Finally, we outline an unexpected relationship between deterministic thermostats and active Brownian particles modeling biophysical cell motility.

研究の動機と目的

• 微視的カオスが決定論的運動方程式から生じる巨視的輸送の起源を理解すること。
• 温度制御系における輸送係数と力学的不変量（例えば、リャプノフ指数、エントロピー生成）の関係の普遍性を評価すること。
• 同じ系に対してガウス型サーモスタットとノーゼ＝フーダー型サーモスタットを比較し、非平衡定常状態の生成における一貫性を評価すること。
• 決定論的サーモスタットと細胞移動をモデル化するアクティブブラウン運動粒子の間の予期せぬ類似性を探索すること。
• フラクタルアトラクタの理論と決定論的サーモスタットの量子拡張に関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• 金属中の電子が電場に駆動される状況を模倣するため、駆動された周期的ローレンツ系をモデル系として用いる。さまざまなサーモスタットを用いて非平衡定常状態をシミュレートする。
• エネルギー入力を一定に保ち、系の加熱を防ぐためにガウス型およびノーゼ＝フーダー型サーモスタットを適用し、時間反転対称性を保ちながら決定論的な力学を維持する。
• 力学系理論を用いて、リャプノフ指数、コルモゴロフ＝シノイエントロピー、およびレピラーのフラクタル次元といった主要な量を計算する。
• 微視的カオスから導かれる輸送係数（例：拡散、せん断粘性率）と、巨視的輸送方程式から得られる係数を比較する。
• 共役ペアリング則およびフラクチュアーション定理が、異なるサーモスタットモデルにおいて有効であるかを検証し、カオス仮説の妥当性を検証する。
• せん断および加熱を受ける相互作用を持つ多粒子系へと分析を拡張し、生物学的物理学におけるアクティブブラウン運動粒子モデルとの類似性を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる決定論的サーモスタットモデル間で、非平衡定常状態における輸送係数はどの程度普遍的か？
• RQ2 共役ペアリング則およびフラクチュアーション定理は、カオス系におけるサーモスタットの選択に依存するか？
• RQ3 決定論的サーモスタットは、低次元系および多粒子系の両方において一貫した非平衡定常状態を再現できるか？
• RQ4 決定論的サーモスタットとアクティブブラウン運動粒子の間には、細胞移動のモデル化においてどのような関係があるか？
• RQ5 確率的摂動を受ける系にフラクタルアトラクタが出現するか？ そして、純粋に決定論的な温度制御系におけるそれらと比較するとどうなるか？

主な発見

• 共役ペアリング則は温度制御系において普遍的であり、正のリャプノフ指数と負のリャプノフ指数を結びつけ、輸送性質の一貫性を保証する。
• 拡散やせん断粘性率といった輸送係数は、リャプノフ指数およびフラクタル次元を用いて表現可能であり、カオスと巨視的輸送の直接的な関係を示す。
• ガウス型およびノーゼ＝フーダー型サーモスタットという異なるサーモスタットモデルが、駆動された周期的ローレンツ系において一貫した非平衡定常状態を生成する。これは、この手法の普遍性を支持する。
• フラクチュアーション定理はこれらの系で有効であり、その存在はカオス仮説に結びついている。これは、カオスと不可逆性の間の深い関係を示唆する。
• 決定論的サーモスタットとアクティブブラウン運動粒子との間で驚くべき類似性が発見され、非平衡ダイナミクスの統一的モデリングの可能性を示唆する。
• 本稿では、確率的摂動を受ける系におけるフラクタルアトラクタの存在や、決定論的サーモスタットの量子的拡張に関する未解決問題を特定している。