[論文レビュー] Microscopic Reversibility and Macroscopic Behavior: Physical Explanations and Mathematical Derivations

Joel L. Lebowitz|arXiv (Cornell University)|May 29, 1996

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、時間対称な微視的法則から時間非対称な巨視的挙動（たとえば、熱力学第二法則）がどのように生じるかを説明している。これは、巨視的および微視的系の間のスケールの著しい差に起因する。数学的導出と物理的考察を用いて、短距離相互作用と良好な混合性を示す微視的力学が成り立つ場合、確定的流体力学方程式（たとえば拡散方程式）が個々の巨視的系を正確に記述できることを示している。アンサンブル記述は、通常のメンバーに適用可能な場合にのみ関連性を持つ。少数の自由度を持つ系には適用されない。

ABSTRACT

The observed general time-asymmetric behavior of macroscopic systems -- embodied in the second law of thermodynamics -- arises naturally from time-symmetric microscopic laws due to the great disparity between macro and micro-scales. More specific features of macroscopic evolution depend on the nature of the microscopic dynamics. In particular, short range interactions with good mixing properties lead, for simple systems, to the quantitative description of such evolutions by means of autonomous hydrodynamic equations, e.g., the diffusion equation. These deterministic time-asymmetric equations accurately describe the observed behavior of {\it individual} macro systems. Derivations using ensembles (or probability distributions) must therefore, to be relevant, hold for almost all members of the ensemble, i.e., occur with probability close to one. Equating observed irreversible macroscopic behavior with the time evolution of ensembles describing systems having only a few degrees of freedom, where no such typicality holds, is misguided and misleading.

研究の動機と目的

• 時間対称な微視的法則に従う系における巨視的時間非対称性の起源を明確にすること。
• アンサンブルに基づく記述と個々の巨視的系の挙動との間の概念的混乱を解消すること。
• 確定的流体力学方程式（例：拡散方程式）が微視的力学からどのように導かれるかの条件を確立すること。
• アンサンブル記述が、自由度が少ない系ではなく、アンサンブル内の通常のメンバーに適用可能な場合にのみ物理的に意味を持つことを強調すること。
• 短距離相互作用と良好な混合性が、微視的力学から独立した巨視的方程式を導くために不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 微視的可逆性が、微視的スケールと巨視的スケールの間のスケール分離を通じて、巨視的不可逆性を生じることを分析する。
• 数学的導出を適用して、混合条件のもとで、巨視的観測量の時間発展が、独立した流体力学方程式に収束することを示す。
• 確率論を用いて、アンサンブル記述が個々の系に意味を持つためには、ほとんどすべてのメンバーに成り立つ確率が1に近い必要があると主張する。
• 自由度が少ない系の力学を、典型性の欠如により、巨視的挙動の記述に不適切であるとみなす。
• 短距離相互作用とエルゴード的混合性を示す微視的力学から、拡散方程式が自然に導かれることを示す。
• アンサンブルベースのアプローチと個々の系の挙動を比較し、巨視的予測に正当性を与えるのは、アンサンブル内の通常のメンバーに限ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不可逆な巨視的挙動は、時間対称な微視的法則からどのように生じるのか？
• RQ2 なぜアンサンブルベースの記述は、アンサンブル内の通常のメンバーに適用される場合にのみ有効なのか？
• RQ3 どのような条件下で、確定的流体力学方程式が微視的力学から導かれるのか？
• RQ4 短距離相互作用と混合性の性質が、巨視的不可逆性の出現に果たす役割は何か？
• RQ5 自由度が僅か数個の系の時間発展と巨視的挙動を同一視するのは、なぜ誤解を招くのか？

主な発見

• 時間対称な微視的法則から、時間非対称な巨視的挙動（たとえば、熱力学第二法則）が、微視的系と巨視的系のスケールの著しい差異に起因して自然に生じる。
• 短距離相互作用と良好な混合性を示す微視的力学のもとでは、拡散方程式のような流体力学方程式が、個々の巨視的系を正確に記述する。
• アンサンブル記述が物理的に意味を持つのは、アンサンブルのほとんどすべてのメンバーに成り立つ場合、すなわち確率が1に近い場合に限る。
• 自由度が僅か数個の系では、アンサンブルベースの巨視的予測に必要な典型性を満たせない。
• 微視的力学から巨視的方程式を導くには、微視的力学が記憶の喪失と混合を有効に引き起こし、独立した方程式への収束を保証する必要がある。
• 自由度が僅か数個の系のダイナミクスと観察された不可逆挙動を同一視することは、典型性の欠如により、概念的に誤りであり、誤解を招く。