[論文レビュー] Microscopic validation of a variational model of epitaxially strained crystalline film

Leonard Kreutz, Paolo Piovano|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$Γ$-収束を用いて、エpitaxially strained結晶膜の連続的変分モデルの微視的裏付けを提供する。格子間相互作用から表面項と弾性・ボリューム項を含む離散的原子スケールエネルギーを導出し、小歪み領域において$Γ$-極限が既存のモデルと整合する連続的エネルギーをもたらすことを示し、等エネルギー有界な系列において離散的平衡解が剛体変形に収束することを証明する。

ABSTRACT

A discrete-to-continuum analysis for free-boundary problems related to crystalline films deposited on substrates is performed by $Γ$-convergence. The discrete model here introduced is characterized by an energy with two contributions, the surface and the elastic-bulk energy, and it is formally justified starting from atomistic interactions. The surface energy counts missing bonds at the film and substrate boundaries, while the elastic energy models the fact that for film atoms there is a preferred interatomic distance different from the preferred interatomic distance for substrate atoms. In the regime of small mismatches between the film and the substrate optimal lattices, a discrete rigidity estimate is established by regrouping the elastic energy in triangular-cell energies and by locally applying rigidity estimates from the literature. This is crucial to establish pre-compactness for sequences with equibounded energy and to prove that the limiting deformation is one single rigid motion. By properly matching the convergence scaling of the different terms in the discrete energy, both surface and elastic contributions appear also in the resulting continuum limit in agreement (and in a form consistent) with literature models. Thus, the analysis performed here is a microscopical justifications of such models.

研究の動機と目的

• 離散的原子スケールフレームワークを用いて、エpitaxially strained薄膜の連続的変分モデルを厳密に裏付けること。
• 格子歪みを伴う膜-基板系の自由境界値問題を、離散的エネルギー関数で分析すること。
• 離散的エネルギーの$Γ$-極限を、格子間隔$ε \to 0$の極限で定義し、既知の連続的モデルを回復すること。
• 離散的剛体性推定を用いて、等エネルギー有界な系列において、前コンパクト性および剛体変形への収束を証明すること。
• スケーリングと幾何的解析を用いて、連続的極限における表面項と弾性・ボリューム項の寄与が一致することを検証すること。

提案手法

• 三角格子上での離散的エネルギー$E_{\varepsilon}$の形式的導出。表面エネルギーは欠損結合に起因し、弾性エネルギーは原子間距離の不一致に起因する。
• $Γ$-収束を用いて離散的から連続的極限へ移行し、最小化子の収束を保証する。
• 三角形セルへの弾性エネルギーの再グループ化と、既知の局所的剛体性評価の適用により、離散的剛体性推定を応用する。
• 離散的プロファイルの区分的定数補間を構築し、連続的膜領域$\Omega_h^+$と基板$\Omega^-$を定義する。
• 表面項と弾性項の両方に共通するスケーリングパラメータ$\varepsilon$を一致させ、両寄与項が極限で存続することを保証する。
• プロファイルの$L^1$収束と摂動論的議論を用いて、体積制約を維持しつつエネルギー境界を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エpitaxially strained膜の離散的原子スケールモデルを、$Γ$-収束を用いて連続的変分モデルに厳密に結びつけることは可能か？
• RQ2 歪みのある最適格子を有する離散的格子系において、表面エネルギーと弾性・ボリュームエネルギーはどのように連続的極限に現れるか？
• RQ3 離散的剛体性は、等エネルギー有界な系列において前コンパクト性と剛体変形への収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 離散的エネルギーが、表面項とボリューム項の両方を有する連続的エネルギーに収束する条件は何か？
• RQ5 エネルギーを増加させることなく、離散的から連続的への移行過程で体積制約をどのように維持できるか？

主な発見

• 離散的から連続的への極限において$Γ$-収束を用いることで、既存の文献に記載されたモデル（特にStress-Driven Rearrangement Instability, SDRI理論からのもの）と整合する連続的エネルギーが得られる。
• 極限における表面エネルギー寄与は、膜プロファイルの周囲に比例し、係数は膜と基板の表面張力$\gamma_f$および$\gamma_s$に依存する。
• 極限における弾性エネルギーは線形弾性と整合的であり、歪みのある格子パラメータから導かれる体積エネルギー密度を有する。
• 離散的剛体性推定を用いて、等エネルギー有界な系列の前コンパクト性が確立され、極限変形が単一の剛体運動であることが保証される。
• $L^1$制御のもとで、離散的プロファイルが区分的アフィン関数に収束し、体積制約は$\varepsilon \to 0$においてエネルギー誤差$o(1)$で補正可能である。
• 解析により、連続的モデルが微視的に裏付けられており、適切なスケーリングのもとで表面項と弾性項の両方が極限に存続することが確認された。