[論文レビュー] Mild and viscosity solutions to semilinear parabolic path-dependent PDEs

Alexander Kalinin, Alexander Schied|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、弱い正則性条件、特に右連続性の下で、半線形放物型経路依存PDE（PPDE）の弱解が、粘性解であることを確立する。主な貢献は、確率的制御や歴史的スーパープロセスにしばしば現れる弱解が、粘性解の概念を満たすことを示したことであり、これによりその価値関数としての解釈が正当化され、このようなPPDEに対する粘性解の一般的存在結果が得られる。

ABSTRACT

We study and compare two concepts for weak solutions to semilinear parabolic path-dependent partial differential equations (PPDEs). The first is that of mild solutions as it appears, e.g., in the log-Laplace functionals of historical superprocesses. The aim of this paper is to show that mild solutions are also solutions in a viscosity sense. This result is motivated by the fact that mild solutions can provide value functions and optimal strategies for problems of stochastic optimal control. Since unique mild solutions exist under weak conditions, we obtain as a corollary a general existence result for viscosity solutions to semiilinear parabolic PPDEs.

研究の動機と目的

• 半線形放物型経路依存PDEにおける弱解と粘性解の等価性を確立すること。
• 弱い条件下で存在する弱解が、それらが確率的制御における価値関数としての使用を正当化する粘性解であることを示すこと。
• 従来の研究と比較して、テスト関数の空間を拡大できることを示すことにより、粘性解の枠組みを強化すること。
• 弱解の存在と等価性を応用して、半線形放物型PPDEに対する粘性解の一般的存在結果を補題として得ること。

提案手法

• 論文は、スコロホド位相と距離 $ d_S $ を用いた経路空間の修正された設定を導入し、非自己反復的汎関数の解析を容易にする。
• デュピルとコンタ–フウルニエの枠組みを用いて、経路空間上での水平微分と垂直微分を定義し、PPDEを経路ごとの形で定式化する。
• 条件付き期待値と時間積分された非線形項を含む前向き積分方程式を用いて弱解を定義し、歴史的スーパープロセスの対数ラプラース汎関数を一般化する。
• 右連続性の仮定の下で、弱解が粘性下位解および上位解の条件を満たすことを示すことにより、弱解と粘性解の等価性を確立する。
• 解写像の非自己反復的構造を活用し、進行的可測性およびボレル可測性の議論を用いて証明を展開する。
• 従来の研究（例：エクレーンら, 2014）と比較して、粘性理論におけるテスト関数のクラスを拡大し、より強固な解概念を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い正則性条件の下で、半線形放物型PPDEの弱解が、粘性解の定義を満たすことが示せるか？
• RQ2 弱解の存在が、同じクラスのPPDEに対する粘性解の存在を示唆するか？
• RQ3 粘性解の概念は、確率的最適制御問題における価値関数とどのように関係するか？
• RQ4 テスト関数のクラスを拡大しても、解の性質が保たれるか？
• RQ5 弱解が粘性解であるための最小限の正則性条件は何か？

主な発見

• 半線形放物型PPDEの弱解は、$ d_∞ $-位相における右連続性の仮定の下で、粘性解である。
• 解が連続でなくても、右連続であれば、弱解と粘性解の等価性は成立する。
• アフィンの場合には、右連続性の仮定を完全に取り除くことができ、より強い結果が得られる。
• 従来の研究と比較して、粘性解の定義に用いられるテスト関数の空間を拡大でき、より強い解概念が得られる。
• 補題として、弱い条件下での弱解の存在と等価性を応用して、半線形放物型PPDEに対する粘性解の一般的存在結果が確立される。
• 生成子が $ f(z) = \alpha z^p $、$ p > 1 $ である確率的制御問題の価値関数が弱解であることが示され、したがって粘性解であることが示され、制御理論におけるその使用が正当化される。