[論文レビュー] Mild and weak solutions of Mean Field Games problem for linear control systems

Piermarco Cannarsa, Cristian Mendico|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Guidance and Control Systems参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 上の線形制御ダイナミクスを伴う1階の平均場ゲームにおける弱解および弱い意味での解の存在および一意性を確立する。経路空間上の測度を用いたラグランジュ的枠組みを導入してナッシュ均衡を定義し、均衡分布のホルダー連続性と価値関数の分数階の擬凸性を証明し、固定点法および動的計画法の原則を用いて弱解と弱い意味での解の等価性を示す。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study first order Mean field games subject to a linear controlled dynamics on $\\mathbb R^{d}$. For this kind of problems, we define Nash equilibria (called Mean Field Games equilibria), as Borel probability measures on the space of admissible trajectories, and mild solutions as solutions associated with such equilibria. Moreover, we prove the existence and uniqueness of mild solutions and we study their regularity: we prove H\\"older regularity of Mean Field Games equilibria and fractional semiconcavity for the value function of the underlying optimal control problem. Finally, we address the PDEs system associated with the Mean Field Games problem and we prove that the class of mild solutions coincides with a suitable class of weak solutions.

研究の動機と目的

• 1階の問題に対する線形制御ダイナミクスを伴う平均場ゲームの均衡を、経路空間上のラグランジュ的定式化を用いて定義・分析すること。
• 経路空間上のボレル確率測度の空間における固定点法を用いて、弱解の存在および一意性を確立すること。
• 価値関数およびエージェント分布の時間発展の正則性を調査し、特にホルダー連続性および分数階の擬凸性に注目すること。
• 経路空間上の均衡によって定義される弱解と、関連するPDE系の弱解との間の等価性を証明すること。
• ラグランジュ関数に追加の仮定を課すことにより正則性結果を拡張し、均衡分布のリプシッツ連続性および価値関数の線形擬凸性を示すこと。

提案手法

• 状態ダイナミクスを $\dot{\gamma}(t) = A\gamma(t) + Bu(t)$ と定義し、$A, B$ を実行列とし、$u$ を $L^2$ 内の許容的制御とする。
• 絶対連続な経路の空間 $\Gamma_T$ を、一様ノルムを備えて定義し、$\Gamma_T$ 上のボレル確率測度 $\eta$ で一階モーメントが有限であるものを考える。
• 測度の流れ $m_t = e_t \sharp \eta$ を定義し、ここで $e_t$ は時刻 $t$ における評価写像であり、エージェントの分布を表す。
• コスト関数 functional $\int_0^T L(\gamma(s), u(s), m_s)\,ds + G(\gamma(T), m_T)$ の最小化軌道に台を持つ測度 $\eta$ をナッシュ均衡として構成する。
• ラグランジュ関数 $L$、終端コスト $G$、および制御構造に関する適切な仮定の下で、確率測度の空間における固定点法を用いて均衡の存在および一意性を証明する。
• 動的計画法および軌道の流れに関する推定を用いて、価値関数 $V(t,x)$ のリプシッツ連続性および擬凸性を導出し、これらを $m_t$ の正則性と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形制御系を伴う1階ダイナミクスを持つ平均場ゲームの均衡は、どのような条件下で存在するか？
• RQ2 関連する最適制御問題の価値関数 $V(t,x)$ は、時間および空間においてどのような正則性を持つのか、特にその性質は？
• RQ3 均衡状態におけるエージェント分布 $m_t$ の時間発展はどれほど正則か。また、どのような条件下でリプシッツ連続となるか？
• RQ4 経路空間上の均衡によって定義される弱解と、平均場ゲーム問題に関連するPDE系の弱解との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 ラグランジュ関数および終端コストに最小限の仮定を課した場合でも、価値関数に対して分数階の擬凸性推定を確立できるか？

主な発見

• 価値関数 $V(t,x)$ は $[0,T] \times \mathbb{R}^d$ 上で局所的リプシッツ連続であり、$D_xL$、$u^*$、および $G$ の有界性に依存するリプシッツ定数を持つ。
• 標準的な仮定の下で、分布 $m_t$ は時間に関して $\frac{1}{2}$-ホルダー連続である。すなわち、$\|m_t - m_s\|_{\text{TV}} \leq C|t-s|^{1/2}$ が成り立つ。
• 価値関数 $V(t,x)$ は空間に関して局所的擬凸性を示し、時間に関しては分数階の擬凸性モジュラスを持つ。具体的には、ある $\alpha \in (0,1)$ に対して $V(t,x) + C|t-s|^{\alpha}$ が $t$ に関して凹関数である。
• ラグランジュ関数に追加の仮定を課すと、均衡分布 $m_t$ は時間に関してリプシッツ連続となり、これにより $V$ の時間に関する線形擬凸性が得られる。
• 弱解（経路空間上の均衡によって定義）のクラスは、双対性および弱定式化の技法を用いて、PDE系の弱解のクラスと一致することが示された。
• 価値関数 $V$ のリプシッツ正則性の証明は、軌道の感度推定および $D_xL$ の有界性に依存し、$\|A\|$、$T$、および $\|u^*\rangle_{L^2}$ に明示的な依存関係を持つ。