[論文レビュー] Mild solutions are weak solutions in a class of (non)linear measure-valued evolution equations on a bounded domain

Joep H. M. Evers|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有界領域 [0,1] 上の非線形測度値進化方程式の弱解と、解に依存する速度場または空間に依存するのみの速度場によって駆動される弱解の間の同値性を、適切に定義された弱形式を用いて確立する。主な貢献は、時間離散化されたオイラー近似によって構築された弱解が弱解に収束することを証明し、境界にフラックス境界条件が課された有界領域における物理的・数学的整合性を裏付けることにある。

ABSTRACT

We study the connection between mild and weak solutions for a class of measure-valued evolution equations on the bounded domain $[0,1]$. Mass moves, driven by a velocity field that is either a function of the spatial variable only, $v=v(x)$, or depends on the solution $μ$ itself: $v=v[μ](x)$. The flow is stopped at the boundaries of $[0,1]$, while mass is gated away by a certain right-hand side. In previous works [J. Differential Equations, 259 (2015), pp. 1068-1097] and [SIAM J. Math. Anal., 48 (2016), pp. 1929-1953], we showed the existence and uniqueness of appropriately defined mild solutions for $v=v(x)$ and $v=v[μ](x)$, respectively. In the current paper we define weak solutions (by specifying the weak formulation and the space of test functions). The main result is that the aforementioned mild solutions are weak solutions, both when $v=v(x)$ and when $v=v[μ](x)$.

研究の動機と目的

• 有界領域 [0,1] 上の測度値進化方程式における弱解と弱解の同値性を確立すること。
• 境界フラックス条件と解に依存する速度場を有する方程式に対して、物理的に整合性のある弱形式を定義すること。
• 従来、オイラー近似によって構築された弱解の有効性を、弱解の枠組みへと拡張し、数学的・物理的整合性を保証すること。
• 質量が境界で停止する有界領域において、速度場が内向きを指すとは限らないという課題を解決すること。

提案手法

• 有界領域に特化したテスト関数の空間を用いて、$C^1_b([0,1])$ に属するテスト関数を含む弱形式を通じて弱解を定義すること。
• 各時間区間で、直前の時刻における解から得られる固定された速度場を用いる時間離散化オイラー近似により弱解を構築すること。
• 測度のポーラマンテオ定理と一様有界性を用いて、オイラー近似列が弱解に収束することを証明すること。
• グローワルの不等式と $\|\cdot\|_{\mathrm{BL}}^*$-ノルムを用いて、解列の全 variation に対する一様有界性を確立すること。
• 優越収束定理を適用して、右辺 $f$ が区分的有界リプシッツ関数であっても弱形式の極限を取ることに成功すること。
• 非線形で解に依存する速度場 $v = v[\mu]$ に対しても同値性を拡張するために、[16] および [18] の弱解の存在と安定性に関する結果を活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域 [0,1] 上の測度値輸送方程式において、フラックス境界条件が課された場合、弱解と弱解は適切な弱形式のもとで同値であるか？
• RQ2 質量が境界で停止する場合、および速度場が内向きを指すとは限らない場合に、測度値方程式に対して一貫性のある弱形式をどのように定義できるか？
• RQ3 弱解を構築するために用いられるオイラー近似スキームは、時間メッシュサイズが 0 に近づく極限において弱解に収束するか？
• RQ4 解に依存する速度場 $v = v[\mu]$ を有する方程式に対しても、弱解と弱解の同値性を拡張できるか？
• RQ5 弱形式における不連続な右辺関数 $f$ を取り扱うために必要な技術的ツールは何か？収束を保証するには？

主な発見

• 速度場が $v = v(x)$ の測度値方程式 $\partial_t \mu_t + \partial_x(v\mu_t) = F_f(\mu_t)$ の弱解は、定理 3.5 で示されるように弱解である。
• 非線形の場合、$\partial_t \mu_t + \partial_x(v[\mu_t]\mu_t) = F_f(\mu_t)$ で $v = v[\mu]$ のときも、定理 4.8 で示されるように同様の同値性が成り立つ。
• オイラー近似列の収束が弱解に至ることから、$f$ が区分的有界リプシッツ関数であっても、優越収束定理を用いて弱形式の極限を取ることが可能である。
• グローワルの不等式を用いて、解列の全 variation に対する一様有界性が確立され、安定性が保証され、収束が可能になる。
• 弱形式は $C^1_b([0,1])$ に属するテスト関数に対して有効であり、$\mathrm{BL}([0,1])$ 関数に対する収束が十分であるため、弱形式の極限に移行できる。
• 証明はポーラマンテオ定理と $\|\cdot\|_{\mathrm{BL}}^*$-ノルムにおける収束に依存しており、これにより極限が弱形式を満たすことが保証される。